中文摘要：

本项目主要研究涉及q-级数的恒等式的证明方法，并研究这些方法的机械化实现。 q-级数是数学中的一个重要研究对象，在分拆理论、数论、向量空间以及数学物理中具有广泛的应用。关于q-级数的一个核心问题是众多恒等式的证明，目前有代数方法、数论方法、分析方法、组合方法等等。我们将系统的研究代数方法，同时引入对称函数理论这一新的工具，发现和证明一系列涉及q-级数的恒等式。数学机械化是数学发展的一个重要方向。目前对q-恒等式的证明虽然有q-Gosper算法，WZ算法等方法，但理论还不十分完善，计算量还比较大。本项目将结合对q-等式证明方法的研究，改进和发展对无穷和等式、多重和等式的机械化证明算法。

结论摘要：

在本项目中我们重点研究涉及q-超几何项的恒等式（简称为q-等式）及其自动证明。q-等式在组合数学、数论和数学物理中发挥着重要的作用。我们研究了这些等式及相关问题。我们一个主要的进展是发现了一种自动证明无穷q等式的系统方法。这一方法结合了算子方法和q-Zeilberger算法的思想。利用这一方法，我们证明了q-级数理论经典著作《Basic Hypergeometric Series》一书中几乎所有的公式。这一结果得到了同行的高度评价。我们另一个主要进展是给出了证明双重和等式的算法化方法。这一方法非常有效并在实际中很有用。例如，应用这一方法可以很容易地直接证明Andrews-Paule等式。第三项主要结果是我们大大降低了为证明超几何等式与q-等式所需要验证的初值个数，增强了验证法证明恒等式的可能性。第四项主要结果是我们将核方法推广到线性递推关系组上。很多的组合问题都可以化为求解一个线性递推关系组的问题。利用我们的推广，可以自动求解这一递推关系组。此外，我们还在q-级数理论及其相关问题方面取得了一系列的成果