中文摘要：

幂零Lie群上的退化次椭圆方程（组）是现代偏微分方程领域备受关注的热点之一。本项目将重点研究幂零Lie群上退化次椭圆方程组的弱解在非经典H?lder空间中的正则性。 我们的主要创新之处是利用新技巧- - A-调和逼近方法研究幂零Lie群上退化次椭圆方程组的最优部分正则性，建立最优H?lder指标和最佳奇异集；把欧氏空间的经典调和逼近理论发展到非交换群上，揭示退化次椭圆方程组弱解的最优H?lder正则性与A-调和逼近方法的联系。 本项目所研究的问题来源于次Riemann几何、流体力学和量子物理等学科领域，与非交换调和分析在高层次上实现交叉，有助于沟通与深化不同数学分支和不同学科之间的联系；有助于更加深入探讨由一般向量场（满足H?rmander条件）构成的退化次椭圆方程组弱解的正则性，为相关非线性问题提供扎实的理论基础。

结论摘要：

本项目研究的非线性次椭圆方程组来源于次Riemann几何、量子物理以及流体力学等领域。幂零Lie群上的次椭圆方程组弱解的正则性是偏微分方程研究的热点之一。本项目研究了幂零Lie群上的次椭圆方程组的弱解在非经典H？lder空间中的最优部分正则性。 本项目克服了向量场的非交换性带来的困难，进展顺利。采取的主要思想是把次椭圆方程组弱解的正则性与幂零Lie群上的调和逼近方法联系起来，通过建立和应用幂零Lie群上的调和逼近方法，得到弱解的最优H？lder连续性。目前，本项目已完成预期研究目标，它包括（1）在次二次自然结构条件下，应用调和逼近技巧，对幂零Lie群上的非线性次椭圆方程组，建立了其弱解的部分正则性，得到了最优H？lder指标和最佳奇异集；（2）在次二次可控结构条件下，建立了幂零Lie群上的非线性次椭圆方程组的弱解最优部分H？lder连续性。 本项目将有助于沟通和深化不同数学分支之间的联系，有助于深入探讨由一般H？rmander向量场构成的次椭圆方程组弱解的正则性。