中文摘要：

差分系统不仅来自于离散数学模型，还来自于连续系统的离散化。差分系统和它所对应的连续系统有许多相似之处，但在理论成果和研究方法上也有很多不同。因此，对差分系统的研究十分重要。非对称问题大量出现在流体动力学、磁流体力学以及工程技术中。量子力学中的能量耗散、反散射、逆谱等问题中也存在大量非对称问题。因此，本项目研究非对称线性差分系统，给出它的极限类型分类，建立极限类型的判定定理。特别地，建立系统谱的相对紧扰动理论，并用之建立离散谱、本质谱以及实谱性的判别准则。非对称线性差分系统谱问题的研究起步晚、难度较大、结果少。本项目的研究成果和方法将使人们对非对称差分甚至微分系统谱理论有较为全面的认识，为进一步研究非对称差分和微分系统谱问题提供新思路，为流体力学、磁流体力学、工程技术以及量子力学等领域的研究提供新工具。

结论摘要：

微分算子谱理论是经典数学、经典力学、量子物理及许多科技领域主要研究手段之一，它为很多实际问题提供了统一解决模式和理论框架。差分系统不仅来自于离散数学模型，还来自于连续系统的离散化。差分系统和它所对应的连续系统有许多相似之处，但在理论成果和研究方法上也有很多不同。因此，对差分系统的研究十分重要。非对称问题大量出现在流体动力学、磁流体力学以及工程技术中。量子力学中的能量耗散、反散射、逆谱等问题中也存在大量非对称问题。因此对非对称微分和差分系统谱理论研究十分重要。本项目研究了非对称线性微分系统和差分系统谱理论，进行了离散哈密顿系统所生成子空间稠定性研究，建立了J-厄米子空间的Glazman-Krein-Naimark (GKN)理论；在GKN理论建立的基础上，进行了二阶非自伴差分方程以及它的更一般形式非自伴哈密顿差分系统的J-自伴域的完全描述，为进一步研究谱打下基础；进行了J-自伴哈密顿微分系统最小算子J-自伴扩张域的刻画；进行了相应算子亏指数的研究；给出自伴和非自伴哈密顿微分系统Hartman-Wintner定理；给出奇异自伴哈密顿系统本质谱离散谱充分条件；进行了非自伴Sturm-Liouville边值问题非实谱的研究；建立了地球流体力学中位涡动力系统的不稳性结果，该方面研究成果体现谱理论的应用价值。相比对称情况，非对称线性微分和差分系统谱问题的研究起步晚、难度较大、结果少。本项目的研究成果和方法将使人们对非对称微分和差分系统谱理论有较为全面的认识，为进一步研究非对称微分和差分系统谱问题提供新思路，为流体力学、磁流体力学、工程技术以及量子力学等领域的研究提供新工具。