中文摘要：

增广拉格朗日问题是最优化研究中的一个重要的课题，它是拉格朗日问题的推广与发展。拉格朗日问题为分析和解决凸约束优化问题起到了重要的作用。增广拉格朗日将拉格朗日函数在凸约束优化问题中所得到的重要结论应用到一般的等式不等式约束优化问题中。本项研究的目标是将增广拉格朗日应用到包含数学模型更多的半无限规划和锥规划中。具体地， (1) 研究增广拉格朗日函数在半无限规划中精确罚参数存在的充分必要条件和鞍点存在的条件。(2) 对广义半无限规划建立它的增广拉格朗日对偶规划。(3)研究增广拉格朗日函数在半定规划和对称锥规划中所具有的对偶性质。(4) 研究设计出求解半定规划的增广拉格朗日有效算法。

结论摘要：

增广拉格朗日对偶问题的建立对最优化问题的求解以及最优性条件的揭示都有着重要作用。本项目主要研究了增广拉格朗日函数在各类优化问题中的对偶性质，在此基础上建立了最优化问题的有效算法。具体地，（1）对一般的扩充实值函数的最小化基本问题，建立了它的非线性增广拉格朗日对偶问题的一个统一框架。这个框架包含了已有的许多增广罚函数。在不需要强制性条件与在零点的半连续性假设的条件下建立了零对偶间隙与精确罚表示存在性的充分与必要条件。对带有等式和不等式的约束优化问题，在适当的条件下建立了增广拉格朗日函数的无约束问题与原问题的局部和全局极小值点之间的关系。（2）对不等式约束的优化问题建立了光滑罚函数算法，得到迭代点列的函数值收敛到最优值的充要条件是扰动函数在零点是下半连续的。进一步，在解集是非退化或者弱强极小的性质下，研究了算法的有限步收敛性。将上述结果推广到半无限规划问题，得到了半无限规划问题的增广拉格朗日算法和光滑罚函数算法。在很一般的条件下，得到了算法的全局收敛性和函数值收敛到最优值的充要条件。并且研究了算法的有限步终止性质。（3）对箱约束半光滑方程，给出了一类光滑SQP方法。在不需要等式系统生成的相应目标函数连续可微的条件下，证明了算法的全局收敛性，分析了迭代点列的收敛特征。进一步，在局部误差界条件下，证明了算法具有超线性收敛速率。注意到，广义半无限规划问题可以通过KKT系统转化为一个半光滑方程系统。我们将对半光滑方程算法的研究结果应用到半无限规划问题中，建立了一类光滑L-M算法，并证明了该算法的全局收敛性和局部超线性收敛性质。