中文摘要：

申请人用非线性泛函分析的理论研究了有实际背景的非线性问题改进了美国和法国数学家的“约化”方法的应用框架，获得了奇异扰动问题的集中在高维流形的解，部分回答了倪维明提出的猜想；在临界频率或具有衰减及无界位势的情形下获得了薛定锷方程的半经典态，解决了Ambrosetti提出的公开问题；研究了与“等离子”等相关的自由边值问题，解决了Caffarelli提出的关于2维等离子问题是否存在具有多个连通分支的等离子集的问题；对天体力学中的Hénon方程，获得了非径向对称解，严格证明了美国数学家周建新和王志强等数值模拟的结果；研究了具反平方位势的椭圆方程，获得了正解、变号解的存在性、奇异性，刻画了对应的Palais – Smale序列的“分枝”现象。申请人发展了非线性分析的理论和方法，形成了研究椭圆问题多解、奇异扰动问题和函数逼近论的有效方法，研究结果被包括多名国外著名数学家在内的同行他引200多次。

结论摘要：

本项目主要研究了非线性泛函分析的相关理论，并将其应用到起源于量子力学的非线性Schr？dinger方程及方程组、起源于理想流体涡旋问题的自由边值问题以及各种重要的椭圆型偏微分方程的研究中。首先，研究了一类起源于理想流体的“涡补丁”问题，利用算子理论结合几何测度论的方法，改进了著名的Lyapunov-Schmidt约化方法，得到了该问题的Stokes流函数，精细地刻画了其“涡补丁”的形状与其对应的Kirchhoff-Routh函数的非退化临界点之间的关系，并揭示了它们与区域的几何和拓扑性质间的本质联系。其次，研究了Schrodinger方程组问题正解的存在性，给出了具有非线性耦合项的Schrodinger方程组在具有径向位势时无穷多个正解的存在性，给出了具有线性耦合项的方程组的任意多个正解的存在性，在方法上提出了直接适用于方程组的约化方法。第三，研究了椭圆方程无穷多界的存在性，提出了基于局部Pohozaev恒等式的爆破方法、无限维约化方法，改进了传统的径向粘结法、有限维约化方法，发展了寻找椭圆问题无穷多解的方法和理论。最后，建立了判断椭圆方程集中解的局部唯一性的新方法，由此结果，可以进一步得到一些解的对称性结论。 本项目共发表SCI论文18篇。先后9次到国外、境外高校等研究机构访问，先后邀请了Sogge、Soffer、李岩岩、魏军城、严树森、王志强、韩青等30多位知名数学家来院作短期访问交流，应邀赴境外参加国际学术会议6次，组织大规模数学会议3次。指导博士后3人，2016年出站，他们均获得了博士后基金面上项目的支持，另有一人获得基金委面上项目。指导博士研究生10人，其中5人已经毕业，取得博士学位；指导硕士研究生12人，有7人毕业，获得硕士学位，5人在读。博士生有1人获得国家培养高水平研究生项目的支持赴德国Giessen大学联合培养1年，1人的博士学位论文获得湖北省优秀博士学位论文，1人跟随倪维明教授做博士后，另有多人的论文发表在J.Funct.Anal., Calc.Var.PDEs, J.Differential Equations, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci.等高水平学术期刊上。指导的硕士生有7人继续攻读博士学位。