中文摘要：

本项目主要研究和式证明与计算的代数方法。和式广泛出现在数学的各个分支中，对其证明与化简一直是数学研究的重要问题之一。代数方法因其简洁性和系统性而成为一种重要的方法。本项目将通过研究经典组合数的特性，构造出计算含有经典组合数的和式的机械化算法。我们将研究经典变换公式在处理新类型和式中应用，利用变换公式把复杂和式变为更简单的和式后加以计算和证明。我们将研究算子方法的若干理论问题，实现算子方法的部分机械化。此外，我们还将研究其他代数方法与现有机械化算法的结合，为和式的证明与化简提供新的方法。通过本项目的研究，我们将给出处理和式的一系列新的代数方法和应用，从而扩大数学机械化的应用领域，推动求和证明与化简的研究发展。

结论摘要：

本项目主要研究和式证明与计算的代数方法。 我们的一项主要研究进展是从二项式变换的角度给出了一类含有Bernoulli数的等式的解释。由此得到了此类等式的一般形式及其推广，并构造了多个新等式。 我们的另外一项主要进展是给出了一个系统方法，可以证明含有满足某种递推关系的序列的等式。我们的方法适用于含有Stirling数和Bernoulli数的等式，著名的Sister-Celine方法和Zeilberger算法均为该方法的特例。 利用扩展的Zeilberger算法和对称化方法，我们给出了Andrews关于一个4phi3和式猜想的推广，将其扩展为含有5个自由参数的等式。 我们给出了扩展的Zeilberger算法，可以用于计算超几何和式之间的线性关系，这一算法有多个应用，例如可以计算涉及正交多项式的多种关系。 我们还给出了将Abel引理与Zeilberger算法结合起来得到的Abel-Zeilberger算法。利用该方法，我们证明了多个含有调和数的等式。 我们利用机器证明的思想，给出了关于q-little Jacobi多项式的一个等式的组合证明，解决了Andrews的一个公开问题。 此外，我们利用Abel引理推导出若干组关于调和数的等式，还给出了计算一类偏序集分拆生成函数的方法。