中文摘要：

在分支理论及应用研究领域申请者做了一些有影响的工作，如1）对三维完全竞争LV系统，证明若无异宿环,则孤立周期轨个数有限，部分地解决了 Hirsch等提出的问题;2）对一类被广泛应用的生态系统，解决了其细焦点最高阶数判定问题，否定了Wolkowicz的猜测；并对另一类奇异的数学模型，完整地给出了全局动力学分类，解决了诸多文献中的遗留问题，且发现在某类扰动下产生新的高退化分支现象；3）对李纳系统给出新的极限环存在唯一性定理；4）对二维泛函微分系统给出发生BT分支的第一个数学模型实例；5）解决了Dumortier等关于余维3鞍点普适开折的遗留问题，探讨了余维5尖点的开折，给出了具有幂零鞍点同宿环的哈密顿系统极限环分支，等等。发表学术论文50多篇，部分成果被国外9 本专著或专题书引用，他人零四年以来SCI类论文222次引用，03年获教育部自然科学奖壹等奖,06年获上海市自然科学奖二等奖，排名第3

结论摘要：

本项目围绕计划书中的研究内容和目标，在微分方程分支理论及应用领域开展了研究工作，完成了计划书中的研究任务，在超椭圆Abel积分零点个数精确估计、高维Lotka-Volterria系统的动力学、医学或生态问题的数学建模与理论分析等三方面获得了一些有意义的研究成果，这些成果以学术论文形式发表在国际重要学术期刊，其中正式发表15篇，接受待发表2篇。具体地，我们研究的主要结果如下第一方面是对1990年V.I. Arnold在[Adv in Soviet Math]上提出十个问题中的第七个问题，我们研究了沿亏格为2的超椭圆闭曲线的Abel积分零点个数精确估计，根据紧代数曲线的几何和代数性质，我们给出了判别两个Abel积分比单调性的新方法。作为这个方法的应用，对亏格为2、次数为5的所有实代数超椭圆闭曲线族，在二次小扰动下，给出了Abel积分I(h)零点个数为一的充要条件，从而完整地得到这类Abel积分I(h)具有Chebyshev性质和非Chebyshev性质的分类。 而对其中含退化平衡点的两类实代数超椭圆闭曲线族，在三次和四次小扰动下，分别得到相应的Abel积分I(h)零点个数精确估计。并对含退化平衡点的三类实代数超椭圆闭曲线族，证明其第一型标准超椭圆积分是Chebyshev的，这补充了前人关于第七个问题的第二部分研究。第二方面是对高维非线性系统的动力学新现象揭示，三维系统中Zero-Hopf分支的发生常蕴含着某种混沌动力学现象，但对三维Lotka-Volterria系统，我们证明其不会发生Zero-Hopf分支，但出现了非孤立的Zero-Hopf奇点，在三参数小扰动下出现两个周期轨的新分支现象。第三方面是对传染病的数学建模与理论分析，大量数据表明艾滋病和疟疾在非洲交叉感染情况十分普遍，我们就个体体内的HIV病毒、疟原虫与机体免疫系统的相互作用，首次建立数学模型，通过其动力学性态的研究，揭示这两类传染病之间的交叉感染导致的复杂疾病症状，发现三个疾病阈值参数，解释了已有的实验数据所得到关于这两类传染病之间关联性的不同结论。这些理论结果对疾病治疗和控制有重要的意义。