中文摘要：

复杂粘弹性体分数阶本构关系的力学比拟是流变学和非牛顿流体力学中一个令人关注的热点问题。自从Scott Blair (1947) 首次提出复杂粘弹性体具有分数阶本构关系的分数元模型以来，如何从物理上建立它的力学比拟成为困扰学术界的难题。针对这一现状，本项目将探寻分数元本构关系在物理上所对应的粘壶－弹簧结构，研究它们与粘弹性体经典模型的本质区别；运用Heaviside运算微积，阐明复杂粘弹性体的本构关系可成为沟通分形与分数阶导数这两个重要领域的桥梁。在应用方面，我们将分数元模型的力学比拟应用于解决分数阶微积分中长期以来没有解决的分数阶导数多种定义的统一问题。分数阶导数定义的这种不统一，多年来阻碍了分数阶微积分在力学和其它学科中的应用。我们将通过复杂粘弹性体分数元模型的力学比拟来阐明现存分数阶导数两种常用定义的缺陷，解决分数阶导数多种定义导致的歧义，进而研究复杂粘弹性体非线性运动的规律。

结论摘要：

本项目按照原计划完成，研究成果经国际和国内同行的评审，发表SCI论文10篇。主要的成果有 1）利用Heviside运算微积从树形分形结构的粘壶－弹簧力学比拟成功地推导出了Scott－Blair模型（分数元模型）的本构关系。该方法简单直捷，也便于向复杂系统推广。面对分数阶导数数学的多种定义，我们证明了Riemann-Liouville定义与Caputo定义中的下限取为负无穷的一致性。通过对分数元模型的力学比拟研究，阐明了这是分数阶导数在物理上最为合理的定义。基于该定义，我们分析了分数元模型的分形振子，给出了在给定初始条件下方程的精确解。 2）利用随流坐标系法建立起了满足坐标不变性的广义UCM模型，证明了该模型可退化为线性分数阶Maxwell模型、UCM模型和一些已有的其它模型。我们还证明了该广义UCM模型能够描述各种应力的演化过程和粘弹性流体的应变硬化效应。通过热力学相容性和物理分析，获得了广义Jeffreys流体本构关系的力学比拟和分数阶数的限制条件。 3）利用分数阶微积分的方法获得了分数阶Maxwell流体圆管起动流的精确解。研究了本构关系中包括松驰时间在内的各种参数对包括速度分布和中心速度在内的流动特性的影响规律。指出了分数阶Maxwell流体的圆管起动流同时呈现出类固体和类流体的双重特性。 4）基于封闭等截面圆环内分数阶Maxwell流体的热对流问题，获得了分数阶的Lorenz方程组，这不但是经典Lorenz方程组的推广形式，也是迄今为止首个通过物理问题获得的分数阶Lorenz系统。基于数值计算，研究了物性参数对相空间轨迹特性影响，包括平衡点的位置，极限环的特性，以及混沌的出现。 5）引入分数阶Maxwell模型来模拟水下的粘弹性海床淤泥。该分数阶Maxwell模型能够很好地拟合真实的淤泥数据，比传统模型具有明显优势。我们将分数阶Maxwell模型用于研究淤泥对自由表面波的衰减效应，获得了衰减率及其变化规律。我们还发现了Jimenez等人在实验测定复杂粘弹性流体分数阶Maxwell模型本构关系中存在的问题，给出了确定分数阶本构关系中分数阶的正确方法。