中文摘要：

本项目研究二维共形不变过程及其在临界渗流研究中的应用.对一系列的临界统计物理模型,如Ising模型, Potts模型,自回避游动(self-avoiding walk),渗流(percolation)等, 它们的连续标度极限都是共形不变的,而共形不变性正是导出模型临界行为(critical behavior)的关键.例如,基于共形不变性,人们相信模型的各临界指数(critical exponents)为有理数,并且计算出临界指数的确切值.平面共形不变过程是一个大的研究领域,我们将侧重于发展该理论并致力于其在渗流研究上的应用.2001年, S. Smirnov严格证明了平面三角格点上点渗流模型标度极限的共形不变性,从而导致了模型临界指数问题的解决.本项目试图建立其他(比如平面方形格点图上的边渗流模型)二维渗流模型的共形不变性,研究其临界行为并探讨渗流普适性(universality)

结论摘要：

当前结题项目研究临界渗流系统及其标度极限。我们的成果主要在两个方面，1, 渗流系统的性质，包括模型的相关不等式，模型的"串"的几何性质等。2,模型的标度极限。 1部分的结果是对渗流系统本身的研究，是项目研究的重点。要研究模型的宏观行为，对微观系统局部性质的研究是必不可少，也是至关重要的。主要包括a) 模型的FKG（正相关）不等式；b) 定向渗流无穷串的几何性质及其惟一性；c）Sierpinski格点场上边渗流的临界点的惟一性及无穷开串的惟一性。 2部分是我们在前一部分的基础上，对模型宏观性质的进一步探讨。这方面的结果主要有a）对一类连续渗流模型（构造于Poisson点过程），我们证明它的"串"的标度极限为Brownian Web(布朗网)；b)对二维定向渗流模型，完成建立其无穷串的标度极限理论的相关准备，包括相关的概率估计，有限维收敛性等。关于定向渗流无穷开串的标度极限的工作，还没有完全完成。但研究已经在我们的面前展出一片学术新天地，在这里看到了新的，有价值的问题，并且在努力之下解决了相当大的一部分，我们认为这对问题的最终解决，乃至对渗流未来的研究都有借鉴作用。