中文摘要：

本项目旨在利用infintesimal元素构造Drinfel'd元素的方法，实现几类无限维李代数李双代数结构和量子化，希望能找到Yang-Baxter方程的新的解，并对无限维李代数的表示进行分类。随着无限维李代数研究的不断深入，对无限维李代数的量子化问题日益突出，而李代数的量子化与李双代数的结构有着密不可分的关系。对李代数的量子化可以产生新的Hopf代数，它是构造新的Hopf代数的一个重要途径，也是研究量子群理论的基本任务之一。本课题的研究在Hopf代数以及Yang-Baxter方程等领域将有很好的应用，并且有利于更好的认识无限维李代数的结构和表示。

结论摘要：

本项目主要研究了无限维李代数的李双代数结构和量子化，李代数的表示的分类，代数半群结构的刻画。由于经典的Yang-Baxter方程的解与三角上边沿的李双代数结构有关, 所以计算经典Yang-Baxter方程的解就有必要先研究它的李双代数结构．它是量子群的基本任务之一, 也是目前李理论前沿的热点研究问题. 我们证明了广义Heisenberg-Virasoro代数上的所有李双代数不是三角上边沿的, 但是无中心的广义Heisenberg-Virasoro代数上的所有李双代数都是三角上边沿的. 从而从这个意义上彻底解决了广义Heisenberg-Virasoro代数的李双代数结构的分类问题. 是否每个李双代数都可以量子化是Drinfeld在1992年提出的量子群理论中若干亟待解决的问题之一. 对李代数的量子化也是构造新的Hopf代数的重要手段. 我们选取广义Heisenberg-Virasoro代数上的两对合适的元素, 构造了两个不同的Drinfeld 扭. 然后利用它们对广义Heisenberg-Virasoro代数进行量子化, 得到了两种既非交换又非余交换的Hopf 代数结构. Schrodinger代数是Schrodinger群的李代数, 由于它在数学物理上的重要应用而被广泛关注。我们研究了Schrodinger代数的一类新的表示，即拟（quasi-）Whittaker模。它不同于Whittaker模以及权模。而是由Schrodinger代数的Heisenberg子代数诱导的非权模。我们证明了一个单的Schrodinger代数模为拟Whittaker模当且仅当它是一个局部有限Heisenberg代数模。进而，我们利用中心特征和拟Whittaker函数对所有单的拟Whittaker模进行了完全的分类。并刻画了Schrodinger代数的任意拟Whittaker模。 半群具有理想收缩性质是指该半群任一个理想都是其一个幂等同态像. 我们利用完全单半群的平移包和GV-半群的结构讨论了具有理想收缩性的某些GV-半群. 给出了强GV-半群具有该性质的充要条件, 推广了相关的一些重要结论. 执行本项目期间，课题组成员积极参加学术交流活动。项目负责人赴美国学术交流1次，并多次邀请国内外李理论专家作报告及讲学。培养1名硕士研究生毕业，1名在读。