中文摘要：

量子包络代数的典范基具有很好的性质并在表示理论中有很重要的应用，基于Reineke、邓邦明、杜杰关于判定紧单项式的充要条件，指标典范基的piecewise线性映射、箭图的表示理论和量子包络代数的范畴化的重要应用，受到前人工作的启发，在申请人前期工作的基础上，本项目着眼于典范基中单项式形式的元素－紧单项式，尝试解决以下问题首先给出B3，D4型量子包络代数的紧单项式，在此基础上，尝试写出B3型量子包络代数的典范基；计算更一般的秩为2的Cartan矩阵（包括有限型和无限型）所对应的量子包络代数的紧单项式，并总结其与Lusztig锥、Weyl群中元素的表达式之间的关系；随后尝试证明以下猜想在有限型Cartan datum所对应的量子包络代数中，紧单项式的长度有限，最大长度等于其Weyl群中最长元的长度；对于非有限型Cartan datum，其量子包络代数中存在任意长度的紧单项式。

结论摘要：

量子包络代数的典范基具有很好的性质并在表示理论中有很重要的应用。基于典范基的代数与几何构造方法，Reineke、邓邦明、杜杰关于判定紧单项式的充要条件，指标典范基的piecewise线性映射，箭图的表示理论和量子包络代数的范畴化理论，受到前人工作的启发，在申请人前期工作的基础上，本项目着眼于典范基中单项式形式的元素－紧单项式，取得了以下研究成果 (1)对应B3型量子包络代数的Lusztig锥，写出了其全部紧单项式，即给出典范基中单项式形式的元素。利用Reineke，邓邦明，杜杰给出的判定紧单项式的充要条件，将紧单项式的判定问题转化为对二次型半负定问题的判定。从而得到以下主要结论 Ei1^(a1)……Eim^(am)是紧单项式当且仅当si1 ……sim是Weyl群中的简约表达式，并且(a1,a2,……,am) 属于对应的Lusztig锥。所以对于B3型量子包络代数，不存在长度大于9的紧单项式。这样完整地刻画了B3型量子包络代数的全部紧单项式。 (2) 给出G2型量子包络代数的6个根向量之间的15个交换关系式。利用Lusztig对称以及辫子群在U+上的作用，我们可以得到G2型量子包络代数U+的根向量E1, E2, E11222, E122, E1222, E2。由典范基的代数构造方法，我们知道，为了对应不同的piecewise线性区域，具体写出G2型量子包络代数完整的典范基(用E1, E2乘积的线性组合表示)，清楚的计算出根向量之间复杂的交换关系是必不可少的。我们按原定计划开展了研究，取得了相应的研究成果，并发表SCI论文1篇，投稿核心论文1篇。