中文摘要：

对称函数理论是目前组合数学研究热点之一。组合方法对揭示对称函数的本质和性质有着重要的作用，有助于我们了解对称函数在物理方面的背景和应用。国际数学家大会一小时报告者I. G. Macdonald提出的多项式是组合数学家非常关注的课题，与代数几何，交换代数有密切的关系。Schubert多项式也与组合数学有密切关系，同时还与Yang-Baxter方程，Hecke代数有密切关系。组合方法往往能给出精巧的构造，从而得到相关的代数等式。我们建立了行列式和格路径的一个一一对应，从而给出了Cauchy定理的一个漂亮的证明。我们将研究差分算子和齐次差分算子的组合意义，也就是探讨它们在格路径上的作用。通过引进切割带的概念，解决了Goulden的一个问题。我们计划对上述问题进行进一步的研究，特别是研究有几何背景的Schubert多项式。

结论摘要：

对称函数理论是一门交叉性非常强的数学分支，在有限群表示论、代数几何、李代数、多项式方程理论、特殊函数和理论物理等方面有着广泛的应用。组合方法对揭示对称函数的本质和性质有着重要的作用，利用组合方法研究对称函数理论是目前组合数学的研究热点之一。本项目通过研究划分、匹配、杨表和格路等组合结构，利用组合方法解决了组合计数方面的一个重要问题和对称函数方面的两个重要猜想，并开展了与项目密切相关的组合恒等式机器证明理论的研究在组合计数方面，我们解决了关于划分和匹配上的嵌套与交叉对称分布的经典计数问题，被美国科学院院士R. Stanley教授在2006年国际数学家大会一小时大会报告上重点报告，产生了广泛影响。在对称函数方面，我们解决了R. Stanley在对称函数秩理论方面的zrank猜想和知名数学家G. Kuperberg关于对称函数行列式的稳定等价猜想。在机器证明方面，针对无穷和式q-级数等式，我们给出了一套系统的机械化证明方法，美国科学院院士、新当选美国数学会会长G. Andrews教授对此评价"很高兴看到你们远远超越了Pfaff方法，得到了非常系统化的方法"。