中文摘要：

形式光滑代数与双曲环是非交换代数几何中两类重要研究对象；低阶相对代数K理论与低阶Hochschild同调、上同调、循环同调以及强转移等价等理论有紧密的联系；动力系统的共轭不变量与函数方程（例如迭代方程与上同调方程）的求解是动力系统理论较关心的两类问题，这些问题也可以用模论及同调代数的语言来表达。本课题将对这些论题进行较系统的研究。本课题的研究具有重要的理论意义，并且将促进相关领域的交叉与发展。

结论摘要：

本课题主要研究了若干组合学不变量、动力系统的不变量，斜多项式环的pi-McCoy性质，GF-模的概念及性质，以及某些类型的函数方程或者矩阵方程。 取得的主要进展如下当P(n)为有理函数顶点的凸多胞形时，证明了当n充分大时，格点nP(n)中格点的个数是n的拟多项式，同时证明了Ehrhart猜想在一元情形是成立的； 对于加权有向图定义了一种组合不变量，该不变量在有向图的状态入分裂下不变； 证明了在一定的条件下，揉行列式是有理函数；研究了两类迭代函数方程的某些类型解的存在性条件。