中文摘要：

主要成果论证了守恒型单调格式会产生数值振荡(这打破了传统认知守恒型单调格式有好的收敛性和非线性稳定性，因而应该是无振荡的）；指出守恒格式计算高密度/压力比问题时会得到错误激波；给出迎风格式在声速点处产生故障(glitch)的分析和完整解释声速点两侧的离散波速在数量上低于连续波速，进而导致离散波传播的滞后(在过去近三十年里，人们普遍认为该现象是由数值方法不满足熵条件所致的)；提出了高维守恒律方程和Hamilton-Jacobi方程的有效的高分辨自适应移动网格方法保持质量守恒，一维算法有保序性、收敛性和总变差不增的性质；给出了守恒律的高分辨气体动理学(kinetic)格式的数学理论分析和流体力学方程组的气体动理学格式的构造及在复杂流体力学问题如航天飞机外形绕流、辐射流体与磁流体等的计算；提出了非线性Dirac方程的高阶间断有限元方法，通过计算观察到一些Dirac孤子碰撞的新现象。

结论摘要：

在项目实施期间(2010.01-2013.12)，课题组按拟定的研究计划开展了高分辨自适应网格方法、双曲型守恒律方程(组)/流体力学方程组的数值方法及数学性质等方面的相关研究。以流体力学中的应用问题为出发点，以简化模型为基础，开展了高分辨计算方法设计和分析、程序编制与调试、和数值实验验证方面的科学研究；同时也着手了计算方法的数学性质和机理的理论分析研究。开展了部分研究计划之外课题例如分数阶扩散方程的高精度间断Galerkin方法和用于离子通道相关模拟的镜像方法和边界积分方程方法的研究。累计发表/录用的标注基金号的SCI论文15篇，未标注基金号的SCI论文1篇；已发表的工作累计被他引39次。受邀在27个国内外的国际会议和全国性专业会议上作大会邀请报告。此外，还积极参加了一些国内外的学术会议例如国际工业与应用数学家大会ICIAM 2011（July 18-22, 2011, 温哥华）等，受邀到多所科研院所讲学，组织了一些学术会议。 于2013年获得冯康科学计算奖，自2008年以来，一直担任国际期刊《Journal of Computational Physics》和《East Asia Journal on Applied Mathematics》的Associate Editor，期刊《International Journal for Numerical Methods in Fluids》和《计算物理》的编委，担任北京大学科学与工程计算系的系主任，北京计算数学学会的理事长，中国计算数学学会常务理事，中国工业与应用数学学会的副秘书长。 在人才培养方面，指导2名青年教师（邵嗣烘，北大数院副教授，2009届博士；季霞，中科院计算所副研，2001级硕士）；指导博士后1名（孙中锋，2009.9-2011.7， 现工作单位是山东理工大学理学院）；指导8名博士生(其中4位已毕业并获得学位，4位在读)；指导6名硕士生(其中5位已毕业并获得学位，1位在读)。