中文摘要：

重调和方程广泛应用于固体力学、材料科学和图像处理中，因此对它的高效求解算法的研究与应用不但具有重要的理论意义，也具有直接的实用价值。本项目主要研究重调和方程基于Poisson算子的高效有限元方法，包括根据重调和方程和Stokes方程之间的等价性给出重调和方程基于Poisson算子的协调和非协调有限元方法，根据重调和方程Morley元方法和Stokes方程低阶非协调元方法之间的等价性，结合Poisson算子的代数多重网格法构造重调和方程Morley元方法基于Poisson算子的快速求解算法；提出重调和方程基于Poisson算子的间断有限元方法，并证明最优阶先验误差估计；分析重调和方程基于Poisson算子的有限元方法的后验误差估计，由此设计相应的自适应算法，并证明拟最优收敛性和最优复杂度。

结论摘要：

重调和方程在固体力学、材料科学和图像处理领域都有着重要应用。本项目研究了重调和方程基于Poisson算子的高效有限元方法。利用位能极小原理和Lagrange乘子法，证明了重调和方程和Stoke问题之间的等价性。基于此等价性，提出了重调和方程基于Poisson算子的新型混合有限元方法。建立了重调和方程Morley元方法和Stokes方程非协调P1-P0元方法之间的等价性，并结合Laplace算子的代数多重网格法构造了重调和方程Morley元方法基于Poisson算子的快速求解算法。借鉴间断有限元方法的思想，弱化一阶导数连续性要求，仅要求有限元函数本身以及法向导数的积分跨过单元边界是连续的，设计了求解重调和方程的三种约束C0有限元方法，包括C0对称内点惩罚法、C0非对称内点惩罚法和C0非对称超惩罚法。为了弥补局部C0间断(LCDG)有限元方法离散得到的矩阵比通常的有限元方法稠密的不足，通过消去LCDG方法中的全局提升算子惩罚项以及增强局部提升算子惩罚项，给出了薄板弯曲问题的紧凑型C0间断(CCDG)有限元方法。借助L2正交投影算子，一种特殊的到C0有限元空间上的插值算子和对偶论证技巧，分析了薄板弯曲问题C0间断(CDG)有限元方法的先验误差估计。为了寻找使CDG方法适定的最少的惩罚，提出了薄板弯曲问题的约化局部C0间断(RLCDG)有限元方法。RLCDG方法形式上可以看成是Hellan-Herrmann-Johnson方法的局部化。构造了RLCDG方法的后验误差估计子，借助Zienkiewicz-Guzman-Neilan元空间和相应的插值算子证明了后验误差估计子的可靠性，利用泡函数技巧证明了后验误差估计子的有效性。类似于薄板弯曲问题的CCDG方法，提出了几乎不可压线弹性力学问题的紧凑型间断(CDG)有限元方法。证明了其离散位移误差在H1和L2范数下的收敛阶是最优的，并且关于Lame常数是一致的。进一步，通过后处理得到H(div)协调的新的离散位移。在本项目的研究过程中，已发表SCI论文1篇，2篇论文被SCI期刊录用。