中文摘要：

在科研和工程实践中, 很多问题的实质都是高非线性的,这些问题的重要处理方法之一是逼近。因此,函数逼近理论一直受到各领域的科研和工程技术人员的重视。代数插值（包括多项式插值和有理插值）作为函数逼近的常见方法, 一直是科学计算领域的基本研究课题。然而对多元多项式插值和有理插值，因插值节点几何分布的差异，问题远比一元情形复杂的多，无论是插值函数空间的结构，插值函数的构造方法，数值计算方法的实现，还是误差分析等方面的研究远没有一元情形成熟，成果不多，且多以分析学方法获得。本项目将采用计算机数学的理论和工具，对一些具有特殊几何分布的节点类，研究多元理想插值和Birkhoff型插值问题中插值空间的结构属性，寻求有效的插值函数构造方法，研究插值误差分析等；进而结合多项式插值理论的结果，研究多元Cauchy型、Hermite型及Birkhoff型有理插值问题，给出若干实用有效的函数构造和数值计算方法。

结论摘要：

在科研和工程实践中, 很多问题的实质都是高非线性的,这些问题的重要处理方法之一是逼近。因此,函数逼近理论一直受到各领域的科研和工程技术人员的重视。代数插值（包括多项式插值和有理插值）作为函数逼近的常见方法, 一直是科学计算领域的基本研究课题。然而对多元多项式插值和有理插值，因插值节点几何分布的差异，问题远比一元情形复杂的多，无论是插值函数空间的结构，插值函数的构造方法，数值计算方法的实现，还是误差分析等方面的研究远没有一元情形成熟，成果不多，且多以分析学方法获得。本项目将采用计算机数学的理论和工具，对一些具有特殊几何分布的节点类，研究多元理想插值和Birkhoff 型插值问题中插值空间的结构属性，寻求有效的插值函数构造方法，研究插值误差分析等；进而结合多项式插值理论的结果，研究多元Cauchy 型、Hermite 型及Birkhoff 型有理插值问题，给出若干实用有效的函数构造和数值计算方法。 在多项式插值的研究方面，我们给出了MB 算法的新的证明；提出了Hermite插值的几何求基降秩算法；对于字典序下带重结构有限点集的消逝理想，提出了Groebner 基计算的快速算法。对于多元 Birkhoff 插值空间问题，提出了Birkhoff 插值的极小单项基快速算法和不变的单项基，构造了Birkhoff 插值的稳定的单项基，提出了Birkhoff 插值的Lagrange型基函数。在有理插值插值函数的构造方法方面，提出了一种有理插值函数构造方法以及Neville型实现，对 Birkhoff型有理插值，提出了一种构造方法。对理想插值问题，针对几种具有特殊属性的理想插值算子，提出了的离散化方法。对于理想插值误差分析给出了Cartesian 点集上理想插值的误差分析，给出了一般理想插值的误差分析公式。我们还利用代数插值工具研究了矩阵方程求解以及同伦方法的研究。 项目所取得的结果，对于多元逼近的理论的拓展与完善取得了一些很有意义的结果。