中文摘要：

图G的一个正常[k]-全染色是一个映射Φ：V∪E→{1,2,…,k},使得V∪E中任意一对相邻或者相关联元素染不同颜色。用f（v）表示点v及所有与其关联的边的颜色的加和,若对任意uv∈E（G）,有f（u）≠f（v）,则称该染色为图G的[k]-邻和可区别全染色。k的最小值称作图G的邻和可区别全色数,记为tndiΣ（G）。Pils＇niak和Woz＇niak提出猜想：对任意简单图G,有tndiΣ（G）≤Δ（G）＋3,其中Δ（G）为图G的最大度。图G的最大平均度,记为mad（G）,是G的所有非空子图的平均度的最大值。运用组合零点定理和权转移方法,证明了若Δ（G）=3且mad（G）〈12/5,或Δ（G）=4且mad（G）〈5/2,则tndiΣ（G）≤Δ（G）＋2。

英文摘要：

A proper [k]-total coloring of a graph G is a map Φ： V∪E→{ 1,2,…,k} such that Φ（ x） ≠Φ（ y） for each pair of adjacent or incident elements x,y∈V∪E. Let f（ v） denote the sum of the color of vertex v and the colors of the edges incident with v. A [k]-neighbor sum distinguishing total coloring of G is a [k]-total coloring of G such that for each edge uv∈E（ G）,f（ u） ≠f（ v）. Let tndiΣ（ G） denote the smallest value k in such a coloring of G. Pils＇ niak and Woz＇niak first introduced this coloring and conjectured that tndiΣ（ G） ≤Δ（ G） ＋ 3 for any simple graph with maximum degree Δ（ G）. The maximum average degree of G is the maximum of the average degree of its non-empty subgraphs,which is denoted by mad（ G）. By using the Combinatorial Nullstellensatz and the discharging method,it is proved that if G is a graph with Δ（ G） = 3 and mad（ G） 12/5,or Δ（ G） = 4 and mad（ G） 52,then tndiΣ（ G） ≤Δ（ G） ＋ 2.