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中文摘要：
单元构造是有限元方法的关键性步骤。单元K、形函数空间P和节点参数N的选取和匹配，要能既保证插值的适定性，又保证收敛性。对二阶等简单问题，（K，P，N）的自然选择能做到这一点，但对复杂问题，这种自然选择和初等构造方法就无能为力了。在2002年北京世界数学家大会上的一小时报告中，Arnold利用微分流形统一解释了混合元等领域中出现的逼近空间的构造问题。另外，构造代数几何已在多元多项式插值中产生了重大影响。同时，有限元插值是一种Birkhoff插值。如何将上述领域与单元构造相结合，是一个应该深入探讨的问题。本项目立足于单元构造与上述领域的交叉，从这些领域吸取营养，研究单元构造的新模式，提升单元构造的数学品位，解决初等和自然选取的方法所不能解决的单元构造的新问题，如各向异性单元、三维弹性混合元、Locking-free平面弹性元等亟待解决的单元构造问题，扩大有限元的应用范围，深化有限元的研究.
结论摘要：
为保证收敛性,有些有限元要满足逼近性,相容性,稳定性，一些特殊性质等.上述要求交织在一起，使一些单元的构造成为一个挑战性的问题。本项目立足于单元构造的新模式，从具体问题入手，取得了一些重要进展。1.针对平面弹性问题,我们总结出了一种构造模式,据此我们构造出了三角形和矩形元，它们Locking-free，Korn第二不等式成立，可用于纯位移边界和纯应力边界条件的平面弹性问题，且具有二阶收敛速度，这些单元还成功地应用到了Stokes问题。2.针对各向异性有限元的构造,我们给出不重合节点和有重合节点的差商的一个积分表达方式,利用这种表达方式和Newton插值形式我们给出任意阶三角形、四面体、矩形和立方体上Lagrange元的各向异性插值误差估计。我们还构造出了具有各向异性的矩形和立方体上的任意阶Hermite元，这些单元可应用于任意阶椭圆边值问题。3.我们构造出了立方体上的低阶de Rham Simplex 系列，它们可应用于四阶椭圆边值问题和Stokes问题等。4.针对2阶和4阶稳态的奇异摄动问题,发展了新的正则性结果, 构造出了有效单元,得到了全局一致收敛性.
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