中文摘要：

延迟微分代数方程常出现在电力和电路分析、多体动力学、国民经济等许多实际应用问题中。延迟微分代数方程因同时具有约束条件和时滞效应，故其许多特性是微分代数方程和延迟微分方程所不具有的，这给其理论研究和数值计算带来了实质困难。目前针对该问题的经典数值方法主要存在两个不足一是当系统规模较大时，耗费的计算时间很长；二是系统具有刚性，如果对时间步长加细，对慢变分量未必合适，这浪费了大量的计算时间。为克服上述局限，本项目以“松弛”过程为基础，采用迭代、分裂和并行计算为主要技术，研究并得到延迟微分代数方程的近似解析解。 对延迟微分代数方程初值问题做如下研究工作采用分裂和并行技术来研究求解延迟微分代数方程的波形松弛法，从而构造高效算法，并将上述所获的部分结果应用于电力系统的数值仿真，具有广泛的应用前景。

结论摘要：

本课题主要针对二阶延迟微分方程、线性延迟微分代数方程及线性分数阶延迟微分代数方程的迭代求解进行了研究。 第一部分工作二阶延迟微分方程常出现在动力系统和控制等领域中，研究其近似解析解的求解方法具有重要意义。我们利用变分迭代方法分别求解了三类二阶延迟微分方程的近似解析解，并获得了相应的收敛性结果。在求解过程中，通过构造不同的Lagrange乘子，提高了算法的迭代效率，数值试验表明了方法的高效性。 第二部分工作利用波形松弛方法求解线性延迟微分代数方程。先利用BDF方法对导数进行离散，分别采用约束步长和线性插值对延迟项进行处理，通过不同的分裂技术，构造了几类求解该问题的离散波形松弛方法，获得了相应收敛性结果。数值试验比较了不同算法的迭代效率，表明了方法的高效性。 第三部分工作利用波形松弛方法求解线性Caputo分数阶(延迟)微分代数方程。其中分数阶导数采用Grünwald-Letnikov格式进行离散，构造了离散波形松弛方法，同样获得了收敛性结果，数值试验说明理论的正确性。