中文摘要：

非线性科学的理论与方法在科学与工程中有着广泛的应用，而微分方程与动力系统是非线性科学的重要组成部分，因此对非线性系统解的性质的研究具有重要的意义。本项目主要研究几类微分方程的分支问题，我们将1.建立含有幂零奇点的平面哈密顿系统在扰动下Melnikov函数展开式系数的计算方法，并利用这些算法及分支理论来研究含幂零奇点的退化系统的分支问题，给出寻求含多参数扰动系统的极限环的新方法；2.研究高次多项式Lienard系统的全局分支及极限环个数，给出极限环最大个数的下界的新结果；3. 研究二维分段光滑系统极限环的分支理论和算法，主要是对分段哈密顿系统的扰动系统研究Hopf分支，同宿分支和异宿分支，并具体研究分段线性及分段多项式系统的全局分支问题。上述问题都是国内外同行专家关心的前沿课题，我们拟开展对这些问题的研究工作，可望获得新的成果，丰富现有理论和方法。

结论摘要：

微分方程与动力系统在科学与工程中有着广泛的应用，因此对非线性系统解的性质的研究具有重要的意义。本项目主要研究了几类微分方程的分支问题，主要包括四个方面。 1. 我们给出了平面哈密顿系统在扰动下一阶Melnikov 函数在k阶幂零中心附近展开式系数的系统且有效的算法，并将其用数学软件Maple编写成程序，在计算机内存允许的情况下，可以系统计算出一阶Melnikov函数展开式中的任意阶系数。这一成果必将促进含有幂零中心的近哈密顿系统极限环分支的研究。 2. 用改变同宿环稳定性的方法研究了近哈密顿系统在异宿环、双异宿环及复合环附近的极限环个数。同时给出了在异宿环、双异宿环及复合环附近得到alien极限环的新方法，这种方法的优点在于给出的条件非常简单，易于应用。由此可在异宿环、双异宿环及复合环附近获得较Melnikov函数方法更多的的极限环个数，从而推动了希尔伯特16问题的研究。 3. 研究了Lienard 系统在原点（幂零中心）的Hopf分支。我们把一阶Melnikov函数在幂零中心附近展开式的系数b_n用一组新的量B_{2n+1}（n为非负整数）进行表示，且B_{2n+1}与b_n在研究Hopf分支时的作用等价，但是B_{2n+1}更易于计算。利用B_{2n+1}给出了得到幂零中心附近小振幅极限环的一般定理，并将该定理应用于一类具体系统，得到了该系统在幂零中心附近极限环最大个数的新结果；研究了几类高次多项式Lienard 系统的Hopf分支、同异宿分支及周期轨分支，得到了获得极限环的一般定理。将这些定理应用到具体的系统，得到了这些系统希尔伯特数的下界，并由此给出了希尔伯特数下界的新结果，即H(20,4)的最新下界是18，这是对原下界17的一个改进。 4.研究了一种广义同宿轨附近的极限环分支问题，建立了Melnikov函数在广义同宿环附近的展开式，并由此给出了研究广义同宿分支问题的分析判据，为研究广义同宿分支提供了理论依据。