中文摘要：

本项目拟结合分支理论和微分方程定性分析方法对几类含参数多项式向量场的极限环个数、同宿异宿轨存在性问题进行研究，同时将所得结果应用到平面多项式向量场Hilbert数估计、偏微分方程行波解问题和生化方程解的定性问题研究中去。一方面采用奇点分析、Grobner基方法对几类平面等变哈密尔顿多项式向量场进行拓扑分类，给出其全局相图，综合Hopf分支、同宿环分支、异宿环分支、复合环分支来研究平面等变多项式向量场极限环个数及其具有的分布，为平面多项式微分方程的Hilbert数的估计提供思路。另一方面对几类平面奇异摄动多项式向量场和高维奇异摄动向量场采用正规型理论、Blow up技巧和微分方程定性分析方法，研究慢流形上转向点的局部性质，并通过建立Dulac映射与后继函数的渐近式来研究奇异摄动向量场极限环、同异宿轨存在性和分支问题，尤其是运用新发展起来的慢发散量积分方法来研究平面奇异摄动向量场的极限环个数等

结论摘要：

在平面等变哈密尔顿多项式向量场进行拓扑分类方面，我们研究了一类六次Z7旋转不变多项式哈密尔顿方程组相图的拓扑分类，给出了7类拓扑结构不同相图，研究结果于2014年在SCI期刊Journal of Applied Analysis and Computation，No2, Vol 3, P139-149上发表。在平面多项式向量场极限环个数及其具有的分布和平面多项式微分方程组Hilbert数估计方面， 我们研究了一类四次平面多项式微分方程组的Hopf、奇闭轨分支，给出了该系统具有同宿环条件和稳定性判定，给出了21个极限环的参数条件和极限环的分布，同时也给出了该系统具有20个极限环的参数条件和多种分布。进而将平面四次多项式微分系统的Hilbert数改进为H(4)>=21，研究结果已于2013年发表在SCI期刊International Journal of Bifurcations and Chaos, Vol 23, issue 4上。 对几类平面奇异摄动多项式向量场极限环分支方面，我们研究了一类具有两个跳跃点和一个转向点平面奇异摄动系统的松弛振荡环个数问题，通过建立后继函数的方法并结合分支分析方法，给出了上述奇异摄动系统具有1、2和3个极限环存在条件。该研究结果以期刊论文DOI: 10.1155/2014/379897在2014年SCI期刊SCIENTIFIC WORLD JOURNAL发表。在极限环渐近展开式方面，研究了具有等时中心平面解析向量场在扰动下分支出极限环形状问题，通过递归建立代数方程给出了极限环解析表达式至任意精度，该研究结果已以期刊论文DOI: 10.1155/2014/320406在2014年SCI期刊SCIENTIFIC WORLD JOURNAL发表。