中文摘要：

课题含两部分内容.一是研究稳定过程与连续时间随机游动和分支粒子系统占位时过程的联系.对连续时间随机游动,核心问题是当表示等待时间和表示跳幅度的随机变量对不独立时,该过程的弱极限形式怎样.对分支粒子系统,最关注粒子运动的各向异性能否通过占位时过程遗传给其极限过程.这部分研既能促进连续时间随机游动模型在各领域的应用,还为分数偏微分方程的解提供一种概率逼近方法,也有助于了解抽象测度稳定过程和具有各向异性的稳定随机场的构造.二是研究稳定过程的概率与几何性质.重点是研究自相似稳定过程的渐进性质及稳定随机场的位势理论.这部分工作有助于深刻认识稳定过程轨道性质.本课题的特色有:以积分形式研究带有余项的连续时间随机游动的弱极限定理;从分支粒子系统模型角度讨论具有各向异性多参数随机过程的构造;研究新型稳定过程的性质.解决问题的关键是科学应用与发展函数空间的紧性条件,以及合理估计稳定过程的尾分布和小球概率.

结论摘要：

在概率论领域，随机过程的构造与性质一直为其中心问题。项目“与Stable过程有关的极限定理”以此为目标. 研究的内容包括三方面一、研究与连续时间随机游动及积分形式（带尾）连续时间随机游动有关的泛函极限定理；二、研究与分支粒子系统占位时有关的泛函极限定理；三、研究随机场的性质。项目进展顺利，到项目结题时已在Bernoulli, Stochastic processes and their applications, Journal of Applied Probability, Journal of Theoretical Probability, Statistics and Probability Letters, Communications in Statistics—Theory and Methods, Science China Mathematics (B), Acta Mathematica Sinica(B), Acta Mathematica Scientia (B)及其它杂志共发表学术论文10篇，另有两篇分别被Stochastics and Dynamics, Frontiers of Mathematics in China杂志接受。课题研究获得的最主要成果为利用一维Poisson过程及积分形式的连续时间随机游动，在一定条件下得到Stable勒维过程；利用二维Possion过程及积分形式的连续时间随机游动以及恰当的积分核函数得到一维分数布朗运动；定义了一类向量值的算子自相似过程，利用李群方法，刻画了过程空间值的自相似变换形式，并利用随机积分表示构造了两类模型；发现粒子运动具有各向异性的分支粒子系统其占位时波动极限只有在运动空间维数较高时才具有各向异性；发现在适当条件下，Riemann- Liouville过程可以通过位置相依的分支粒子系统占位时过程构造出来。这些结果为人们寻找分数stable过程的积分构造以及寻找恰当意义下的分数stable过程积分提供了一种思路；展示了利用高维随机过程构造低维分数布朗运动的技巧，提高了人们对分数布朗运动的理解；建立起了分支粒子系统与非迷向随机场以及分数阶微分方程的联系，体现了分支粒子系统在随机模型构造方面的灵活性。