中文摘要：

本项目致力于函数空间上的Toeplitz算子及其相关算子的代数性质的研究，属于多复变函数论及算子理论中的前沿热点课题。我们将研究单位圆盘、单位开球、单位多圆柱上Bergman空间、调和Bergman空间、Dirichlet空间、调和Dirichlet空间上的Toeplitz算子及Hankel算子的交换性、准交换性、有限秩问题、等距问题以及两个Toeplitz算子乘积什么条件下能够等于另外一个Toeplitz算子等基本的代数性质。同以往在记号函数调和或多重调和的前提下进行研究的思路不同，本项目将首先探讨k-拟齐次Toeplitz算子的基本性质，然后利用极分解式最终得到一般Toeplitz算子的代数性质，进一步揭示单变量与多变量、不同函数空间上算子理论的联系与不同。

结论摘要：

本项目致力于函数空间上的Toeplitz算子及其相关算子的代数性质的研究，属于多复变函数论及算子理论中的前沿热点课题。同以往在记号函数调和或多重调和的前提下进行研究的思路不同，本项目首先探讨k-拟齐次Toeplitz算子的基本性质，然后利用极分解式最终得到一般Toeplitz算子的代数性质，进一步揭示单变量与多变量、不同函数空间上算子理论的联系与不同。 通过一年的研究工作,我们取得了一些很好的研究成果，特别是在单位圆盘上调和Bergman空间中的拟齐次Toeplitz算子代数性质的研究上获得重大突破,获得了令人十分惊讶的结果。 众所周知,调和Bergman空间的标准正交基包括解析单项式和共轭解析单项式,而Bergman空间的标准正交基只包括解析单项式。因此Toeplitz算子代数性质在调和Bergman空间应远比在Bergman空间上更难满足。然而我们非常惊讶地发现在研究调和Bergman空间上的两个拟齐次Toeplitz算子交换性时只要其交换子作用到几乎一半的正交基等于零即可,也就是说,有几乎一半的正交基是用不到的。 然后我们利用这些结论刻画了两个拟齐次Toeplitz算子的交换性,并证明了和解析或共轭解析单项式Toeplitz算子可交换的Toeplitz算子只有一些平凡的情况,和径向Toeplitz算子可交换的只有径向Toeplitz算子。 我们获得的另一个意想不到的结果是如果调和Bergman空间上的两个拟齐次Toeplitz算子乘积等于另外一个Toeplitz算子，则交换顺序后的乘积必也等于此Toeplitz算子，从而此两个拟齐次Toeplitz算子必是可交换的。然后借助交换性的结果我们给出了拟齐次Toeplitz算子和单项式Toeplitz算子乘积等于另外一个Toeplitz算子的充分必要条件。