中文摘要：

整数幂模意义下与欧拉商有关的同余式,默莱定理和雅可布斯坦同余式及其在双素数立方模同余式等问题上的应用，继而将上述同余式推广到任意数域的理想模上;素数幂模意义下的同余分拆. 前一个问题与费尔马大定理紧密相关, 需要利用贝努里多项式、库默理论，代数数域上的某些算术性质,以及一类特殊区间上狄里克莱级数的求和方法。后一个问题与组合数学中的斯特林数有着惊人的相似之处，同时需要解析方法的支持.此项课题

结论摘要：

我们证明了在整数平方模意义下与欧拉商有关的一系列同余式，将原来仅限于素数幂模意义上的同余式（这些同余式在证明费尔马大定理时非常有用，比如拉赫曼同余式）作了完全的推广。作为应用，我们把多个素数幂模意义下的著名同余式推广到任意整数幂模上，这种整数幂模的同余式并不容易想象，比如默莱定理，雅可布斯坦同余式，我们不仅想象出来而且给出了证明。同时，我们也得到了在双素数立方乘积模意义下的一个对称的同余式。我个人以为，这些是迄今为止有关同余式的最漂亮和最深刻的结果，而整数幂模同余式是经典数论的重要研究内容。在证明以上同余式以后，我们又把HARMONIC和上的一个与贝努利数有关的漂亮同余式从对素数分拆成三个正整数之和求和推广到对n个正整数之和求和。此外，我们还得到了Wolstenholme型和Lujunggren型定理的q模拟，以及著名的幸福数高度的一个构造型结果。另一方面，我们也研究了若干代数问题，并在对称非半单HOPF代数和TAME代数中取得了若干结果。