中文摘要：

本项目研究四次、八次剩余,二元二次型与相关的数论问题。对给定4k+1型素数p和整数a,我们将利用p的二次型表示给出a的八次剩余特征，努力解决项目负责人刚发表的一系列猜想，同时将通过Jacobi符号演算决定二次域基本单位为8k+１型素数四次、八次剩余的条件。我们将建立八次有理互反律，构造二次型类群的八次特征，改进项目负责人先前关于四次剩余的结果,研究四次、八次剩余相关类群结构及类数同余式。在二元二次型研究方面，对一般自然数n，我们将研究n表为二次型类K的方法数R(K,n)的性质与公式，给出R(K,n)具有共同值的充要条件，并应用R(K,n)的公式进一步解决n表为形如ax(x-1)/2+by(y-1)/2和ax(x-1)/2+by(3y-1)/2等的方法数问题。此外我们将探究与R(K,n)相关的函数性质及Ramanujan恒等式，并揭示二元二次型与模形式的关联。

结论摘要：

项目组成员在本课题中计划研究四次、八次剩余与二元二次型，2010-2012年间我们基本按原计划执行，并且取得巨大进展，即系统研究了n表为ax(x-1）/2+by(y-1)/2 和 ax^2+by(y-1)/2等的方法数问题，用Western公式决定了一些二次单位的八次特征，基本解决了项目负责人提出的有关八次剩余和Lucas序列同余式的猜想. 我们也利用Jacobi恒等式对给定素数p=ax^2+by^2 巧妙地构造了x^2的公式，从而统一和推广了先前的个别结果，这可视为二元二次型理论的重要进展。此外，孙智宏还研究了包含Euler数和Euler多项式的同余式，大大推广了Stern同余式， 同时研究了与Legendre多项式有关的同余式，解决了孙智伟提出的许多超同余式猜想。孙智宏在2010-2013年间发表标注基金资助号的论文11篇，其中10篇发表在SCI（E）期刊上。另有4篇标注基金号的SCI杂志论文待发表。2013年还发表两篇未标注基金号的SCI（E）论文。 项目组成员房剑平通过研究q-微分算子的性质，给出了有限Heine 变换与一些有限的q 级数变换公式，并且得出了几个Rogers-Ramanujan型恒等式。2010年和2012年他的3篇标注基金资助的相关论文分别发表在SCIE期刊J. Korean Math. Soc.与Ars Combinatoria上。项目组成员张海辉2010年在Ars Combinatoria上发表论文一篇，研究了图的着色问题。 尽管项目组成员在八次剩余与二元二次型研究方面有重要进展，解决八次剩余和Lucas序列同余式猜想的两篇论文已被SCI杂志Acta Arithmetica录用，但在八次有理互反律研究中遇到困难，没有什么进展，主要是由于八次周期多项式较为复杂，有的猜想无法应用八次互反律来讨论，需要发明新的方法工具,但我们发明了新型的八次有理互反律。此外，项目组成员的少数论文未标注受国家基金资助。这些是本项目结题时的美中不足之处。