中文摘要：

Lévy 过程作为一族典型的未必连续马氏过程和半鞅引起许多概率学者的极大关注。耦合方法是概率论中的一个典型方法，它可以用于马氏过程的遍历性、马氏半群的正则性等方面的研究。本项目主要研究与Lévy 过程有关的两大类马氏过程- - 由 Lévy过程驱动的随机微分方程和 Lévy 型过程(Feller 过程)的耦合性质及其相关问题。我们将利用复合Poisson 过程半群的显式表达式和加权随机游动的耦合性质，给出由Lévy 过程驱动的O-U过程具有成功耦合的充要条件；我们将从 Lévy 过程驱动的随机微分方程和Lévy型过程的马氏生成元出发，通过构造适当的马氏耦合算子，给出关于这两大类过程耦合成功的充分条件；我们还将根据拟微分算子中符合函数的渐进行为，给出 Lévy 型过程具有成功耦合时耦合时间尾概率和矩的精细估计。此外，我们还将利用上述所得到的耦合结果给出Lévy型算子的一系列分析性质。

结论摘要：

Lévy过程作为一族典型的未必连续马氏过程与半鞅引起许多概率学者的极大关注; 耦合方法是概率论中的典型方法. 它可以用于研究马氏过程的遍历性和马氏半群的正则性. 本项目主要研究Lévy型过程 (包括Lévy过程驱动随机微分方程) 的耦合性质及其相关问题. 我们给出了Lévy过程驱动随机微分方程具有成功耦合的判别准则, 利用Lévy过程驱动随机微分方程具有成功耦合的结果和证明技巧得到了所对应马氏过程的指数遍历性和所对应马氏半群的分析性质, 从而给出了Lévy型过程遍历性的相关结果. 同时, 我们也给出了无穷维空间中由Lévy过程驱动Ornstein-Uhlenbeck过程具有成功耦合的判别方法. 对照项目资助计划书的预期成果和上述所得到结果, 我们已经顺利完成了预期目标. 在实际问题中Lévy过程可以很好地用于模拟带跳的随机现象, 这正说明了我们所得到结果应该具有很好的应用前景.