中文摘要：

最近几年，人们开始积极寻求可用于公钥密码体制平台的无限非交换代数结构，辫群便是其中最受关注的一类。然而，诸多研究表明，辫群很可能不是一个合适的平台。结合辫群密码分析的现状和密码平台群的基本要求，本项目考虑使用仿射辫群作为公钥密码体制的平台群。与辫群类似，仿射辫群具有很多好的适合公钥密码的算法性质；另一方面，这两类群在结构上有几个本质不同，特别地，不像辫群，仿射辫群不具有Garside结构，这将使得占辫群密码分析主体的、基于Garside结构及其变形的密码分析方法不能推广到仿射辫群。我们将研究仿射辫群作为公钥密码体制平台群需要解决的一些根本问题，如标准型的显式表示、字问题和共轭问题的具体算法和复杂度、具有仿射辫群特点的密码方案、计算机实现和基于线性表示的密码分析等。本项目将从理论和实证两方面回答仿射辫群是否是一个好的平台，同时开展仿射辫群的结构及其表示理论的研究。

结论摘要：

最近几年，许多学者着手寻求可用于公钥密码体制平台的无限非交换代数结构，辫群便是其中最受关注的一类。然而，诸多研究表明，辫群很可能不是一个合适的平台。结合辫群密码分析的现状和密码平台群的基本要求，本项目考虑了使用仿射辫群作为公钥密码体制平台群的可能性。我们研究发现与辫群类似，仿射辫群具有很多好的适合公钥密码的算法性质；另一方面，这两类群在结构上有几个本质不同，特别地，不像辫群，仿射辫群不具有Garside结构，这使得占辫群密码分析主体的、基于Garside结构及其变形的密码分析方法不能推广到仿射辫群。我们指出了仿射辫群作为公钥密码体制平台群需要解决的一些根本问题，如标准型的显式表示、字问题和共轭问题的具体算法和复杂度、具有仿射辫群特点的密码方案、计算机实现和基于线性表示的密码分析等。在仿射辫群密码的数学基础方面，我们完整提出了稳定范畴的单纯系统，给出了对称代数的Hochschild上同调群之间的转换映射的显式表达，并由此证明了一系列导出等价和稳定等价的不变量。受辫群密码及仿射辫群密码设计思想的启发，我们对比研究了其它典型非交换代数结构（如内自同构群）及其相关的密码学难题假设（如有限群分解问题），进而基于相应的难题假设，设计了新型的非交换密码体制，并给出了可证明安全规约。另外，在传统数论密码方面，我们给出了基于离散对数问题的新型加法同态加密方案、基于双线性配对的新型秘密分享方案、门限加密方案及门限密钥封装方案等。本项目的研究成果支持了仿射辫群可能是一个好的公钥密码体制平台群的观点，为这方面的进一步研究奠定了良好的基础。