中文摘要：

本项目以数学物理中出现的非线性波动问题为研究对象，针对几类具有典型物理意义的方程，如Camassa-Holm方程、 Cahn-Hilliard方程、Hunter-Saxton方程等，设计相应的间断有限元算法，并给出理论分析。如何处理好该类方程中的强非线性项和非线性色散项，并消除某些没有足够光滑性的解所产生高频色散误差，以及解决高阶导数的时间步长问题，是困扰该类方程数值模拟的主要问题。我们针对这些问题，建立了相应的间断有限元方法以及相关理论。同时，我们研制相关的实用数值模拟软件，用实际算例和理论分析证明了间断有限元方法在求解非线性波动方程过程中的优越性，体现其非线性稳定性、高精度、易于实现并行化、自适应和处理复杂边界等优点。数值模拟的成功有助于进一步了解非线性演化方程的特性，从而揭示其物理本质，指导数学物理问题研究。