中文摘要：

本项目的研究目的是对非线性波动方程的高精度自适应间断有限元算法进行深入系统的研究。由于这些非线性波动方程其具有高阶非线性导数项，其解没有足够的光滑性，会产生高频的色散误差，同时这些解仍具有孤子解的局部特性。针对这些非线性波动方程的特点，设计自适应的高精度格式，以间断有限元方法为基础，以后验误差估计和自适应网格改进技术为核心，使得算法能够根据问题解的性质和所需求解精度自动调整网格，从而获得最优的计算复杂性。这不仅对非线性波动方程的发展具有推动作用，而且由于非线性波动方程在数学物理中的典型代表性，将对许多数学分支及交叉学科的发展都有重要影响和促进作用，具有十分重要的理论和现实意义。

结论摘要：

本项目以数学物理中出现的非线性波动问题为研究对象，针对高精度自适应间断有限元算法进行深入系统的研究。对于具有高阶非线性导数项、其解没有足够的光滑性的非线性波动方程（如Degasperis-Procesi方程等）设计了高精度间断有限元算法，同时进一步给出了线性高阶波动方程和四阶非线性方程间断有限元方法的最优误差估计，为进行自适应及并行求解以提高算法效率提供了理论依据。针对精度提高的后处理过程给出了数值和理论分析上的最新研究结果，通过局部后处理过程来达到更好的逼近结果对于后验误差估计和自适应算法具有重要的意义。方程理论方面也取得了进一步的研究结果，对于数值求解这类非线性方程给出了具有指导意义的解的表达形式。针对非线性物理应用问题（非线性可压缩hyperelastic rod问题）给出了间断有限元方法的自适应数值模拟和稳定性分析的结果。