中文摘要：

稳态Schr?dinger Poisson Slater（SPS）方程源于描述量子系统的基态，是含非局部项的稳态非线性Schr?dinger（NLS）方程。本项目主要研究稳态SPS方程一类有重要物理意义的解- - 基态和激发态解。拟解决的问题是针对位势函数奇异且变号的稳态SPS方程，证明它的基态和激发态解的存在性，并讨论解随参数变化时的渐近行为，给出解在位势函数奇点附近的性质及在无穷远处的衰减估计等。目前有关此类问题的研究进展较少，变号的奇异位势和非局部项的共同作用使得经典的变分方法很难直接适用于这类问题。该项目拟应用变分方法结合偏微分方程的技巧来研究稳态SPS方程解的存在性问题，并尝试用积分估计等偏微分方程技巧研究解的性质。我们想通过这些研究来更清楚地了解位势函数及非局部项对稳态NLS方程解的存在性和解的性质的影响。

结论摘要：

我们研究了奇异变号位势函数对稳态 Schr？dinger Poisson Slater方程的变分泛函的几何结构的影响。并根据几何结构的特点发展出新的方法构造满足（P.S.）条件的近似解序列。获得了一类具有特殊物理背景位势函数的稳态 Schr？dinger Poisson Slater方程解的存在性的充分条件。对具有库伦位势函数的稳态 Schr？dinger Poisson Slater方程也有部分研究结果。同时我们考虑了具有非齐次项的稳态 Schr？dinger Poisson Slater方程，得到一些有意义的结果。总之，本项目不仅帮助我们如期完成了研究计划，还带动了其它研究课题。