中文摘要：

本项目以数学物理中出现的非线性问题为研究对象，针对几类具有典型物理意义的方程，如Burger's-Huxley方程、Klein-Gordon-Schr?dinger方程组及一些非线性波动方程和非线性复方程等，设计相应的格子Boltzmann算法，并给出理论分析。我们将基于BGK格子Boltzmann方程,针对宏观微分方程的特点，分类研究建立相应的离散速度模型及选用恰当的时间和空间尺度，进行多尺度分析，建立微观演化方程与宏观方程的联系。设计和研究中结合或者借鉴传统的数值计算方法及其思想，发展更高效的LBM模型。用算例和理论分析来证明格子Boltzmann方法在求解非线性问题中的稳定性及优越性，并就问题的数学和物理性质作进一步探讨。相关的研究内容和所取得的成果，不仅对偏微分方程数值解的发展具有推动作用，而且将对许多数学分支及交叉学科发展都有重要影响和促进作用，具有十分重要的理论和现实意义。

结论摘要：

本项目以数学物理中出现的非线性问题为研究对象，针对几类具有典型物理意义的方程，设计相应的格子Boltzmann算法，并给出数值分析。通过研究，我们得到以下成果 1.针对广义Burgers–Huxley方程提出相应的格子Boltzmann格式。数值结果从精度上优于已有的数值方法 。而且该格式可应用于广义Burgers–Fisher方程，并推广到高维问题。 2.针对耦合的Burgers方程组提出Boltzmann 模型。通过对源项(uv)_x进行中心离散及运用 Chapman-Enskog展开得到相应的格子Boltzmann 格式。数值结果优于其它数值结果。 3.针对复合的 Burgers-Korteweg-de Vries (cBKdV) 方程提出Boltzmann 模型。通过恰当地处理色散项 u_xxx ，得到格子Boltzmann 格式。数值结果与解析解很好地吻合，与其它数值方法比较，结果上更好，充分展示了该格式的高效。这两项成果都已投稿，待发表。 4．针对多维薛定谔方程提出一类高阶紧致ADI格式。分析了数值方法的离散守恒律，证明了该多辛积分能长时稳定地模拟多辛哈密尔顿系统，甚至比其它能量守恒格式更精确。 5.针对 Klein-Gordon-Schr？dinger 方程提出一种多辛Fourier 拟谱格式, 该格式保持离散多辛格式的守恒律，空间上谱精确，时间上二阶精度。数值实验结果展现了多辛格式的数值优势，并验证了理论分析的正确性。这些成果为我们的格子Boltzmann数值研究此类方程提供了一定的参考和借鉴。