中文摘要：

研究在高维数、多尺度、不连续、多参数条件下混杂离散神经元数学模型的分岔及发生聚合行为的条件，特别关注神经元发生各种放电模式的分岔条件及同步行为的全局稳定性判定。应用几何奇异摄动理论，研究混杂离散神经元网络的维数降阶和多尺度变量快慢分解；应用动力系统分岔和混沌理论，研究与各种放电模式相对应的分岔条件和参数平面区域划分；应用相平面分析技术，研究多个子系统之间，子系统与全系统之间，在间断的化学快速阈值模块转换条件下的各种高余维分岔，寻找与同相或反相同步判定条件相关的吸引子及其相互关系；研究主稳定函数方法在大尺度混杂离散神经元网络同步流形局部和全局稳定性判定条件；探索产生各种放电模式及同步的基本规律。本项目涉及高维动力系统研究的难点问题，研究内容有利于高维、多尺度、离散动力系统的推广和发展，部分研究成果希望能为治疗或缓解老年痴呆症、癫痫病，自闭症，精神分裂症等大脑非正常同步症状提供建议和实验依据。

结论摘要：

本项目旨在研究高维、多尺度、不连续、多参数条件下混杂离散神经元数学模型的分岔及发生聚合行为的条件，特别关注神经元发生各种放电模式的分岔条件及同步行为的全局稳定性。通过四年的努力，我们在以下方面得到了一些结果1、离散神经元系统在电子耦合或化学耦合作用下的完全同步性；2、Rulkov神经元在电子耦合作用下动态系统的混沌判据；3、离散神经元网络多种放电行为的分岔条件和形成机理；4、混杂离散神经元系统参数存在区域的划分；5、离散步长参数对神经元系统动态性质的影响；6、大脑神经元疾病的数学模型的初步研究；7、离散predator-prey模型的分岔和混沌；8、忆阻器数学模型的动态特征，这些结果一方面为探索混杂离散神经元数学模型的各种放电模式及同步的基本规律打下了理论基础，有利于高维、多尺度、离散动力系统的推广和发展，另一方面部分研究成果希望能为治疗或缓解老年痴呆症、癫痫病等大脑非正常同步症状提供建议和实验依据。