中文摘要：

（项目研究内容和意义简介） 本申请项目的研究内容主要包括两个方面一方面是通过对一定区域上的初边值问题所涉及的（矩阵）Riemann-Hilbert（RH）问题的零点进行高阶推广，并在一定的约束条件下求解此RH问题，然后利用RH问题的解以及初始条件和已知边界条件求解初边值问题；另一方面是探讨反散射变换方法与初边值问题的可解性的联系，由此寻找新的初边值问题可解的非线性可积方程，并对其加以深入研究。 该项目的研究将极大地丰富可积系统的数学理论，并将促进可积方程初边值问题的解法与解的形式的多样性，提高人们对谱分析与可积方程孤子解的认识。

结论摘要：

非线性发展方程的谱分析在实际问题中具有十分重要的意义。本项目所涉及的反谱变换方法主要包括以谱分析为手段的Zakharov-Shabat穿衣服方法、Riemann-Hilbert问题的穿衣服方法和Dbar-问题的穿衣服方法。穿衣服方法的优势是不仅可以构造非线性可积方程以及其Lax对，而且同时可以给出其显式解。本项目研究的重点是非线性可积方程的初值问题。通过对Zakharov-Shabat穿衣服方法的推广，我们研究了耦合非线性Schr？dinger 类方程、Davey-Stewartson 类方程和Hirota–Satsuma耦合KdV方程；利用Riemann-Hilbert问题的穿衣方法研究了广义非线性Schr？dinger方程和离散mKdV方程；利用Dbar-问题的穿衣服方法研究了与3×3矩阵谱问题相联系的带自相容源的耦合非线性Schr？dinger方程、Sasa–Satsuma方程、三波方程以及长短波方程，与2×2矩阵谱问题相联系的AB方程和耦合无色散方程。