中文摘要：

四元数及四元数矩阵在量子力学，图形学，数字图像处理，电磁学和通讯等领域有重要作用，四元数矩阵的理论与应用研究一直是矩阵论和数值代数的热点问题。我们将借助实表示和复表示研究四元数矩阵中一些分解的存在性及性质，直接基于四元数运算研究计算问题，并用于四元数矩阵方程及最小二乘问题的计算，提出解决这些问题的直接方法。我们也将研究几种四元数最小二乘问题的计算，提出切实可行的迭代算法。我们的算法将避开实表示或复表示的方法，克服实表示或复表示的特殊结构带来的困难，直接在四元数体上进行运算，因此优于已有的通过实表示或复表示得到的算法。研究当线性代数方程组的系数矩阵为H-矩阵时, 一些新的迭代法的收敛性，讨论H-矩阵的扰动分析并给出逆H-矩阵的新性质。研究循环矩阵和广义循环矩阵的性质；讨论系数矩阵为循环矩阵和广义循环矩阵时的某些算法及其收敛性；给出循环矩阵和广义循环矩阵与其它矩阵的联系。

结论摘要：

借助于四元数矩阵的实表示方法，我们建立了四元数（半）正定矩阵和它的实表示矩阵之间的关系，进而获得了四元数矩阵方程四元数（半）正定矩阵解和实数域上矩阵方程（半）正定矩阵解之间的关系。我们列举了针对四元数三对角的准拉直向量和基本矩阵的一些性质，充分利用实表示矩阵的结构，提出了一个计算四元数最小二乘问题极小范数Hermitan 三对角解迭代方法。针对实表示矩阵，我们定义了保结构的高斯变换，进而分别提出了计算四元数矩阵LU分解和四元数Hermitan正定矩阵Cholesky分解的新颖的保结构算法。对非线性矩阵方程$X^s+A^*X^{-q}A=I$，我们指出了Yang的文章中的一处可疑点，讨论了Hermitan正定解、最大解和最小解的存在性并提出了计算这些特殊结构的迭代算法；我们也详细讨论了该方程解的分布，提出了计算一些特殊解得免逆的迭代算法。我们建立了对称矩阵空间和它的独立元素空间之间的映射关系，借助这个关系，提出了一个计算矩阵方程AXB = E的最小二乘极小范数解的迭代方法。我们也提出了一个新的计算方程$AXB+CX^TD=E$的最小二乘极小范数解的迭代方法。针对线性系统Ax = b，这里A是一个Z矩阵， 我们提出一个新的预条件的AOR型迭代方法，证明了它的收敛性，获得了该方法的收敛速度和非预条件方法收敛速度的一些比较结果，证明前者快于后者；也获得了当A是严格α双对角占优矩阵和严格α对角占优矩阵时收敛性的一些充分条件。我们提出了计算加权最小二乘问题的广义超松弛迭代法，和普通超松弛迭代法的迭代矩阵谱半径进行了比较，前者收敛快于后者。