中文摘要：

BEC是独特的量子力学相变，有重要的研究价值和意义。由于只能通过结束实验观察实验的痕迹，所以BEC物理实验的观察很不方便。人们不能随时观察实验的状态，无法直接随时观察BEC的产生、变化、发展和结束,无法直接观察BEC的多样性、复杂性和稳定性.因此,对BEC的理论研究和数值模拟研究就变得很有必要和意义。理论上对BEC实验中所出现的涡漩的研究是在非线性Gross-Pitaevskii方程的框架下进行的。目前关于BEC的数值方法大多不能保持系统的几何结构和物理量的比较好的守恒，在模拟长时间的物理实验时不能很好地保持数值结果的准确性和可靠性,不宜用于长时间发展的物理系统的模拟,保结构方法是一类比较新的算法，其基本思想是在数值模拟时尽可能多地保持系统的几何结构和物理量的守恒，具有优异的数值稳定性和精确的长时间跟踪能力。本项目拟利用保几何结构方法解决这些问题，为将来的实验研究提供理论指导。

结论摘要：

本项目旨在研究保几何结构方法及其在波色爱因斯坦凝聚中的应用研究，项目组研究了Gross-Pitaevskii方程的辛几何结构与多辛几何结构，同时研究了系统数值量的守恒特性；构造Gross-Pitaevskii方程的辛算法与多辛算法并用其模拟在BEC中的涡旋产生后的发展变化情况；分析对比了辛算法与多辛算法的性质；研究了该方程的数值格式的李群李代数, 并考虑了李群方法在数值模拟涡旋的发展变化情况； 针对一般李群方法计算速度较慢的情况， 也开展了研究在本课题的研究中所采用的李群方法的快速计算方法；对整体研究Gross -Pitaevskii 方程的各种保结构算法的应用性能起到了促进和支持作用。在项目研究中，对所涉及的泛函变分所相关的一阶偏微分进行了一定的研究，对于李群方法的快速计算进行了一些理论研究和数值实验，对相关的模型进行了一些数值方法研究。对这些方法在其他领域的应用也作了一些研究。在对波色爱因斯坦凝聚的数值研究中，对描述BEC的数学模型Gross-Pitaevskii方程进行了一些研究，对此方程的辛几何结构和多辛几何结构进行了一些研究，根据其几何结构设计了相应的保守几何结构的算法，利用这些算法编写程序，进行了相应的数值实验，对涡漩的运动、位移、衰减及寿命进行了研究。在数值试验中，选取不同的参数值，如令角速度变化，研究此时所对应的涡漩数及其能量变化。此外，对这些算法的数值实验，研究了迭代方法的选取问题，随着问题取点数的增大，迭代方法的收敛速度很快变慢。 在数值实验中，通过大量的数值实验结果发现，利用保守方程的几何结构的指导思想来设计算法是可行的、有意义的，数值实验结果和物理实验结果是基本吻合的。同时，也进一步验证了即使是保守几何结构的算法，数值效果也是各不相同的，多辛几何算法要明显好于辛几何算法。在数值实验时发现，即使是效果最好的多辛几何方法，在进行长时间的数值实验时，数值实验的效果也与初始时变化较大，实验结果的可信度需要研究。通过增加节点的方法会使数值实验效果变好，但计算量增加许多，计算速度会变慢许多。总起来讲，用保结构数值算法研究波色爱因斯坦的数值方镇，取得了比较好的效果。对保结构算法也起到了促进作用。 并且此算法对于长时间发展的物理过程的模拟有着尤为明显的好的优越性。尽管如此，在后续研究中讲将此研究系统化，并提升理论高度