中文摘要：

时空中相对论弦/膜运动形成的是一个极值曲面/极值子流形，这是一个涉及到物理学、几何学和非线性偏微分方程的交叉研究课题，既古老，又是当前的主流研究方向之一，在广义相对论物理学和现代数学中具有重要的科学意义和广泛的应用背景。本课题着重研究以下三个方面的问题（1）弯曲时空中类时运动的弦所形成的极值曲面的整体存在性（大初值条件下），以及在何种条件下极值曲面会产生奇性，奇性结构是如何的；（2）讨论类时运动的膜的整体存在性（分别考虑小初值和大初值情形），研究它与波映照之间的关系，并探讨相应的有趣的物理现象；（3）进一步研究弦运动如何从类时运动演化为类空运动，即类时曲面如何转变成类空曲面，这属于混合型极值曲面的研究范畴，是一个长期困扰数学家和物理学家的问题。上述问题的解决无论在理论上还是在应用方面均具有重要的科学价值。

结论摘要：

时空中相对论弦（相对论膜）运动的研究与时空中极值曲面（极值子流形）的研究紧密联系，是涉及物理、几何和方程的交叉学科，在理论物理和现代数学中具有非常重要的科学意义。本项目主要研究相对论弦（相对论膜）在 Schwarzschild 时空和 Reissner-Nordstrom 时空中运动所形成的极值曲面（极值子流形），证明了相应方程组光滑解的整体存在性和爆破等结果。同时，本项目还研究了弯曲物理时空，特别是 Schwarzschild 时空和 Reissner-Nordstrom 时空中类光型的极值曲面，得到一些具有物理意义的特解。此外，本项目还研究了复合弹性材料中非线性波的传播、调和分析中若干奇异积分算子的有界性等问题，得到若干有意义的结果。