中文摘要：

本项目主要研究解析Hilbert模的形变理论。Douglas和Arveson等人为了研究多元算子理论发展了Hilbert模理论。它为算子理论算子代数与其它数学分支之间的相互交融提供了良好的平台。对Hilbert模的分类是该理论中的基本问题之一。经典的分类方式均具有极强的刚性。本项目受Gerstenhaber的代数系统的形变理论的启发，研究Hilbert模的形变分类，并将之应用于研究代数簇。首先，我们拟利用Hilbert模的形变理论来研究Hilbert模的本质正规性，其主要思想是，希望证明在某种条件下，Hilbert模的形变会保持Hilbert模的本质正规性，从而利用本质正规性已知的Hilbert模探测本质正规性未知的Hilbert模。其次，我们拟研究代数系统的形变理论与从拓扑上定义的Hilbert模的形变理论之间的区别与联系。最后，拟利用解析Hilbert模子模的形变不变量研究零簇的性质。

结论摘要：

通过三年的努力，本项目进展顺利，基本上达到了预期目标，共发表较高水平论文5篇，另有一篇论文已经接受。本项目的研究成果主要分为如下两个方面。 1. 在解析Hilbert模的本质正规性方面的研究。Hilbert模的本质正规性是该研究领域的一个基本问题。通过本项目的研究，我们给出了双圆盘上拟齐次商模、以及多圆盘上N_eta型商模的本质正规性的完整刻画。结果分别发表在Sci. China Math 以及Proc. AMS 上面。 2. 关于Hamilton系统的Hill-型公式以及Trace公式。这是本项目的研究思想的重要应用。Hamilton系统的特征值问题是一个重要问题，它在很多领域有着重要的应用。Hill-型公式是Hill在研究月球的进动时得到。很多学者对它得到了进一步的研究。通过本项目的研究，我们发现Hill型公式与trace公式之间的密切关系。进而，我们利用trace公式对相对morse指标进行估计。得到了对平面三体问题的稳定区域的刻画。这些结果分别发表在本方向顶级杂志J.Funct.Anal 以及ARMA上面。