中文摘要：

寻找新的有物理意义的可积系统一直是孤立子与可积系统研究领域中感兴趣的课题。本项目将构造一类新的混合的离散孤子方程族，这类新的孤子方程族由等谱和非等谱的离散孤子方程族混合而成，在物理上可以看成孤立波在均匀和非均匀的混合介质中传播。对这类在结构上具有更一般形式的混合的离散孤子方程族，我们拟用反散射变换、Hirota方法、Darboux变换等求出它们多种形式的解，并通过对解的动力学分析努力找到具有新的性质的解。此外我们还将研究这类方程族的对称及李代数结构，探讨这些对称与已有的k-对称和τ-对称之间的区别和联系。

结论摘要：

本项目研究混合有等谱和非等谱离散孤子方程族的求解及其李代数结构。对于方程的求解我们利用反散射变换、Hirota方法、Wronskian技巧、直接线性化方法依次得了非等谱的Ablowitz-Ladik、混合的离散的修正KdV、带自相容源的Ablowitz-Ladik、四位势的等谱的Ablowitz-Ladik、广义的带导数的shr？dinger、非等谱的Kadomtsev-Petviashvili等方程族的解，并且对解进行动力学分析。我们找到了四个位势非等谱Ablowitz-Ladik方程的强对称算子，由这个强对此算子得到两组非等谱Ablowitz-Ladik方程的对称，通过约束得到两个位势非等谱Ablowitz-Ladik方程的对称。另外我们还利用Hirota方法和Wronskian技巧求解了孤子方程族的Lax对非线性化后的有限维Hamliton系统。最后我们构造了超Shr？dinger 李代数，确定了Schr？dinger代数的单的Whittaker的分类，及其奇异Whittaker模的奇异向量，研究了Schr？dinger-Virasoro代数的共轭线性反对合以及酉的Harish-Chandra模。