中文摘要：

深入研究G-期望、g-期望在金融市场风险度量、控制及相关问题中的应用。以G-期望和g-期望理论为核心，研究金融市场中的风险度量、 评估问题及其相关性质，研究在参数不确定性条件下金融风险的形态和演化，进而讨论在G-期望和g-期望意义下的递归效用随机最优控制问题、递归效用优化问题的动态规划原理以及相关的计算方法等，得到一批金融数学领域国际前沿、国内领先的应用基础理论成果和相关计算方法，解决一批金融风险度量与控制、投资优化和衍生债券定价问题。

结论摘要：

关于非线性数学期望的研究，特别是由Peng提出的G-期望和g-期望的理论研究和在金融风险、控制中的应用研究，已经成为金融数学、金融工程中一个重要的研究领域。本项目致力于研究G-期望和g-期望基础理论、技术中一些有趣问题的研究以及其在金融风险度量、控制及相关问题中的应用，主要研究内容包括1. 建立在G-期望和g-期望下的凸函数基本理论框架，给出在各种条件下的G-凸函数和g-凸函数的显式刻画，研究这些函数的基本性质，特别是与正常凸函数的比较研究，得到一批重要的性质，并建立了非线性凸的基本研究方法和技术； 2. 在此基础上，建立各种条件下G-期望和g-期望下的风险厌恶理论，即所谓的G-风险厌恶和g-风险厌恶，并给出在非线性条件下的、微观经济学中著名的Arrow-Pratt Index理论，进而与传统的Arrow-Pratt Index结果相比较，得到了纯风险与纯不确定性直接的比较结果。 3. 研究一些G-期望和g-期望中的基本理论问题，比如表示定理、随机单调性问题等等。本研究基本上建立了G-期望和g-期望下的凸函数基本理论框架和研究方法以及G-期望和g-期望下的风险厌恶理论基本理论框架，在相应的研究领域有着比较重要的突破、创新，为后续的进一步研究打下比较坚实的基础。