中文摘要：

众所周知，很多领域里的各种问题都可以转化为非线性方程组的求解问题，因此非线性方程组一直是最优化领域中十分活跃的研究课题。构造有效的求解非线性方程组的算法不仅在理论上有着重要的意义而且在实际生活中有着广泛的运用。本项目主要研究以下几方面的课题1. 在局部误差界条件下讨论LM参数取为残量模的幂函数时LM方法的收敛速度，更一般的LM参数取为残量模的某些特殊函数时，LM算法的收敛速度，利用信赖域技巧构造全局收敛的自适应的LM算法，并讨论其在带约束的非线性方程组以及在非光滑方程组等问题上的运用。2. 构造一类新的信赖域半径趋于零的非线性方程组的信赖域算法以及一般罚函数意义下信赖域半径趋于零的信赖域算法。3. 构造快速求解非线性最小二乘问题的新的LM算法，在局部误差界条件下分析算法的收敛性质。

结论摘要：

非线性方程组是最优化领域中十分活跃的研究课题,构造有效的求解非线性方程组的算法不仅在理论上有着重要的意义，而且在实际生活中有着广泛的应用。本项目按照预期计划研究了以下几方面的内容1. 选取Levenberg-Marquardt 参数为残量模的幂函数，讨论了在弱于非奇异性的局部误差界条件下LM 方法的二阶收敛性质。更一般的，选取LM 参数为残量的某一类函数，在局部误差界条件下讨论了LM 方法的收敛速度。并利用信赖域技巧给出了一个全局收敛的自适应的LM 算法，使得LM参数的选取完全依赖于当前迭代点处的信息。2. 构造了信赖域半径趋于零的非线性方程组的信赖域算法，在局部误差界条件下给出了算法的超线性收敛性。另外，改进了Zhang and Wang的超线性收敛算法，给出了新的信赖域算法在相同条件下的二次收敛性。3. 构造了非线性最小二乘的LM算法，得到了很好的数值结果。4.研究了非线性半正定规划的对偶理论以及Stiefel流形上的二次规划问题。这四方面的工作总结发表在国际学术杂志上共6篇，这些结果提供了求解奇异非线性方程组的新算法，丰富了非线性方程组理论、非线性半正定规划理论和流形上的优化理论。