中文摘要：

大规模矩阵计算是计算数学和科学与工程计算领域中的重要和热点难点课题,其数值方法的理论研究和算法开发有很多挑战性的问题。本项目将研究大规模矩阵线性和非线性特征问题的传统和精化投影类方法的理论和算法开发,以及应用。在大规模矩阵特征问题方面, 传统的投影类方法存在着可能不收敛的内在缺憾。为此,申请者1994年提出了一类本质上与传统投影类方法不同的新方法，称之为精化的投影类方法。其根本区别是，精化方法用全新的策略计算特征向量。新方法目前已被国际学术界列为解该类问题的三类方法之一，开发的几个算法比传统方法对大量实际问题经常显著有效。因此，继续研究方法的理论和开发具体有效的算法具有十分重要的理论意义和广阔的应用前景；同时，如何将精化方法的原理推广到有效地计算大规模矩阵非线性特征问题是非常有吸引力的重要课题，有重要的理论价值和实际意义。本课题将致力于该难度很大应用很广泛的课题，进行算法的创新和理论研究

结论摘要：

大规模矩阵计算是科学与工程计算领域中的重要和困难课题。本项目研究大规模矩阵特征问题的传统和精化投影类方法的理论和算法开发及应用。在大规模矩阵特征问题方面, 传统的投影类方法存在着可能不收敛的内在缺憾。为此,项目主持人1997年提出了一类与传统投影类方法不同的新方法，称之为精化的投影类方法。其本质区别是，精化方法用全新的数学原理计算特征向量。新方法目前已被国际学术界列为解该类问题的三类方法之一，开发的精化算法比传统算法显著有效。本项目致力于该课题的多个问题的研究，取得了实质性成果和进展，具体包括:提出了一种重新启动精化调和Arnoldi算法的有效技术；提出和开发了中小型矩阵的奇异值分解的有效可靠计算方法,它可以显著降低一般精化算法的实现代价；对Sylvester矩阵方程的最小残量法中涉及的最小二乘问题，提出了带结构的QR分解算法，提高了精度,降低了计算量；证明了非精确Rayleigh商迭代的二次收敛性和非精确的简化Jacobi-Davidson方法的线性收敛性；提出和开发了一种计算大规模矩阵小奇异值和奇异向量的精化双对角化算法；提出了一种计算大规模线性方程组的近似稀疏逆的有效预处理方法。