中文摘要：

扩散方程的一个重要性质是解满足极值原理。在任意多边形网格上数值求解扩散方程时，如何构造满足离散极值原理的格式一直是人们关注的尚未解决的难题。不满足离散极值原理的格式往往破坏热力学第二定律，引起热流从低温流往高温，在低温区域将导致温度出现负值，在温度变化剧烈的区域将导致非物理振荡。本项目的研究目标是解决这一具有挑战性的难题，将构造出新的满足离散极值原理的格式，并研究其稳定性、收敛性和守恒性等基本性质，保证温度不出现负值和非物理振荡。在格式设计中，本项目将考虑单元中心型格式，重点研究如何合理地给出法向通量的离散表达式，使其具有满足离散极值原理所需的结构。同时将通过前处理或后处理的方式改进已有九点格式，使其在具有保正性的同时能保持守恒性。预期所构造的单元中心型格式在任意多边形网格上既满足离散极值原理，又能保持局部守恒性，且有较高精度。

结论摘要：

扩散方程的一个重要性质是解满足极值原理。在任意多边形网格上数值求解扩散方程时，如何构造满足离散极值原理的守恒格式一直是人们关注的尚未解决的难题。 对于实际应用中涉及的质量扩散、能量扩散或热传导问题，当采用不满足离散极值原理的离散格式进行数值求解时，长期以来存在的一个突出问题是，在扭曲网格上计算往往出负或者超出物理上允许的最大上界，导致计算非正常中断。不满足离散极值原理的格式往往破坏热力学第二定律，引起热流从低温流往高温，在低温区域将导致温度出现负值，在温度变化剧烈的区域将导致非物理振荡。对此，常用的处理方法是"遇负置零"或置为可允许的最大上界。这明显破坏守恒性，长时间计算导致误差积累较大。对于非定常扩散问题，另一个处理方式是缩短时间步长，在前一时间步数值解非负的条件下，保证下一时间步计算不出负，在实际计算中这会导致时间步长过小，无法完成对实际应用问题的模拟计算。 本项目针对这一具有挑战性的难题开展了一系列的研究工作，主要包括 (i) 提出了守恒的非负性修正算法；并设计了扩散格式的整体修补技术，强制数值解整体守恒且满足离散极值原理；克服了扩散格式现有处理方法存在的不保持守恒性的缺陷，解决了现有程序中计算出负导致求解困难(计算开销过大)的问题； (ii) 构造了任意多边形网格上改进的保正格式和任意四边形网格上模板固定型保正的有限体积格式，解决了已有保正格式在某些变形较大的网格上单元边法向通量不出现该边物理量、且精度较低的问题，克服了现有保正格式选取模板需增加额外开销的不足； (iii) 提出了中间未知量的消去算法，克服了现有算法或者精度较低、或者设计较为复杂的不足； (iv) 设计了具有间断状态方程的能量扩散方程的非线性迭代算法，避免了间断可能导致数值反扩散的缺陷，解决了现有方法迭代不收敛、不保持守恒性等问题。 总之，我们完成了本项目的研究计划，圆满解决了任意多边形网格上现有离散格式不满足离散极值原理的问题，并发表多篇高水平论文。