中文摘要：

本项目将对风险理论中的几个破产问题展开深入研究。首先，对于被布朗运动或跳扩散过程等扰动的相依更新风险模型，我们在常数障碍分红策略和门限分红策略下研究期望折现罚函数和分红总量的期望现值的计算方法。其次，在马尔科夫控制风险模型下，我们考虑投资和税收等因素对盈余水平的影响，着重研究重尾理赔分布下破产概率、期望折现罚函数等风险测度的渐进表达式。最后，在风险模型中某些重要参数未知的情形下，我们研究如何利用非参数统计的方法来估计破产概率和期望折现罚函数等风险测度，其中重点研究估计量在大样本情形下的相合性、渐进正态性和置信区间推断等问题。

结论摘要：

本项目主要针对风险理论中的若干破产问题进行研究。首先，对于被布朗运动扰动的相依更新风险模型， 我们研究了barrier分红策略下期望折现罚函数和分红总额的期望现值的计算方法，通过数值例子验证了最优分红策略的存在性；还研究了threshold分红策略下期望折现罚函数的计算方法。其次，我们研究了阶段分红策略下的布朗运动风险模型、带扩散扰动的复合泊松风险模型和马尔科夫可加风险模型，主要探讨了期望折现罚函数和分红总额的期望现值的计算方法。然后，我们研究了半马尔科夫风险模型下的破产问题，给出了破产概率满足的矩阵积分方程，并在两个状态下研究了破产概率的渐近表达式。接下来，我们探讨了如何对风险测度进行统计估计，其中主要研究了经典模型下零初始盈余时生存函数的非参数估计；经典风险模型下和纯跳Levy风险模型下破产概率的非参数估计。我们证明了估计的相合性、渐近正态性等大样本性质，并验证了估计量在有限样本情形下的有效性。最后，我们讨论了复合分布的导数的非参数估计方法，证明了估计的相合性和渐近正态性。