中文摘要：

图的特征值理论的一个重要方向是图的特征值与图的其它参数之间关系的研究，因为它将图的代数性质与其拓扑性质紧密结合在一起。本项目拟以直径和最大度为主线，对图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的特征值开展一系列研究。研究内容主要包括刻画点数和直径固定的图类中邻接谱半径达到极小的图；依据直径对树分类，推进树按代数连通度的大小进行排序的工作；探寻邻接谱半径、拉普拉斯谱半径与最大度之间的度量关系等。这些问题具有重要的理论意义（有多个相关猜想或公开问题相继提出），同时在网络设计理论中也有一定的应用价值。我们拟综合运用矩阵分析、特征多项式比较、特征向量的分量分析以及特征值的渐近（极限点）理论等代数工具，同时对图的结构进行分析，结合使用图的各种扰动技巧来研究上述问题。采用理论推导和计算机验证相结合的方案开展相关研究，力争在研究结果和理论方法上都有新的突破。

结论摘要：

本项目旨在以图的特征值与图的其它参数之间关系的研究为线索, 研究当前图谱领域的热点问题. 我们重点在以下三个方面开展了研究. (1). 图的拉普拉斯谱半径与图的（边）连通度、匹配数的关系的研究. 刻画了具有固定点数和连通度、边连通度的二部图中取得极大拉普拉斯谱半径的图; 研究了具有完美匹配的n阶树的第k个拉普拉斯特征值, 所得结论回答了相关公开问题的k=2, k=3的情形. (2). 开展了极值谱理论问题的研究, 提出了长路、奇(或偶)圈存在性的(无符号拉普拉斯)谱半径条件, 所得结果将经典的极值图论中路、圈存在性定理推广到了特征值问题上； 解决了著名图谱研究专家 Nikiforov 教授的两个相关猜想, 其中所提出的路存在性的最小度条件（稳定性定理）具有广泛的应用价值. (3). 开展了图的特征值的Nordhaus–Gaddum 型问题研究. 研究了图的第k个特征值的Nordhaus–Gaddum 型问题, 还考虑了与此相关的能量的Nordhaus–Gaddum 型问题.