中文摘要：

算子矩阵是以线性算子为元素的矩阵；缺项算子矩阵是一些元素为已知的，其余元素为未知的算子矩阵；而缺项算子矩阵的补就是缺项算子矩阵中未知元素取定以后的算子矩阵。所谓算子矩阵的补问题就是研究缺项算子矩阵中已知元素的性质，使得该缺项算子矩阵具有给定性质的补。如今，算子矩阵的补问题已经成为算子理论中比较活跃的研究领域之一，对其研究不仅在算子理论中有着重要的理论意义，在系统理论、差值理论、图论等应用学科中也有着实际应用价值。例如，算子理论中的算子扩张问题、算子膨胀问题以及系统理论中的稳定性等都可转化为某类算子矩阵的相应的补问题。据我们所知，算子矩阵的补问题包括可逆补、谱补、范数补、收缩补等等各种补问题，且还有很多种补问题有待进行研究。所以，本项目试图利用空间分解、构造算子、算子方程以及广义逆理论等方法，深入研究某类算子矩阵的相关的补问题，为实际应用提供强有力的理论依据。

结论摘要：

本项目应用空间分解、构造算子和广义逆理论等研究方法，主要围绕算子矩阵的可逆补问题和谱补问题等进行了研究，在国内外数学专业核心期刊上发表或接受了4篇论文，其中3篇为SCI论文。首先，研究了算子矩阵的可逆补问题，相关结论发表在《Journal of Operator Theory》 和 《Complex Analysis and Operator Theory》 期刊上。其次，研究了算子矩阵的谱补问题，相关结论发表在《Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series》期刊上。最后，我们还研究了一类特殊算子矩阵---无穷维Hamilton算子的数值域，该结论被《系统科学与数学》期刊所接受。综上，该项目研究内容按计划顺利进行，已达到了项目预期目标。