中文摘要：

本课题以几何分析为理论基础，以几何流为纽带，研究图像重建和图像处理中的若干相关问题。本课题将系统研究与图像重建和图像处理有关的几何分析问题的数学理论，研究与图像重建和图像处理有关问题的保几何结构算法，建立DOT、BLT的多模态融合图像重建理论和算法，发展SPECT和XCT内问题的重建理论和算法，发展高阶DTI成像的重建理论和算法，研究与图像处理有关的偏微分方程和变分问题的数学理论及快速算法。目标是研制一个多模态开放式光学CT实验系统，并利用该实验系统开展DOT和BLT图像重建研究，使图像重建分辨率达到国际水平。

结论摘要：

本课题宗旨是发展与图像处理与重建相关的几何分析理论，并用之于实际问题。课题取得下列结果 1. 研究与图像重建和图像处理有关的曲线流曲面流的数学理论及其在算法中应用。 包括冷冻电镜图像的高效的分类方法、 定向方法、从n-1 （n = 2, 3）维的投影（X-射线变换）数据， 构造n 维密度函数的若干种L^2 梯度流方法、Bregman迭代方法， 及这些方法的理论分析。研究了二维图像的插值、柔性配准以及图像分割问题，证明了配准模型以及所得出的PDE的解的存在唯一性。对于源自三维图像分割的、非流形的四面体网格、六面体网格，分别提出了几何流驱动的网格优化方法，包括边界的平滑以及网格规整化。研究了空间曲线几何流的构造方法， 空间曲线的几何流的性质以及空间曲线几何流的数值积分方法。我们还研究了与图像处理有关的某种曲率流自相似解的存在性问题。2. 研究与图像处理有关的变分问题偏微分方程模型和数学理论。我们研究了ROF泛函极小解的性质以及解析表达式。利用变分方法和Morse理论，研究了一类共振非线性 Hamilton系统，p-Laplace 周期解存在性问题，建立了一个Fredholm型存在性定理，证明了一类共振非线性椭圆方程边值问题解的存在性和多重性； 对1维1－Laplace方程，1维预定平均曲率方程，我们引入了stationary解的概念，并证明了这类解的存在性和多重性。调和映射是和图像处理关系密切的一个变分问题， 我们给出了调和映射blow-up序列能量恒等式成立的充分必要条件，同时给出了具有一致有界能量的Sacks-Uhlenbeck逼近调和映射序列，但其不满足著名的能量恒等式。 另外， 我们也研究了与图像处理密切相关的其它偏微分方程理论。 3.我们研究了新的图像去噪和去模糊的新模型及其快速算法。 主要的工作是在 分裂的Bregman 方法算法。我们提出AOS算法, 分裂格式, 带有 Von Neumann边界条件的快速 Fourier变换方法来求解该方程组. 并对这些算法进行了分析和比较。在此基础上,提出了我们新算法， 更好和更快地获得图像去噪去模糊的结果 。 4. 研究 Ricci 流及其它几何流的数学理论