中文摘要：

提出时序-几何动力学(S-NURBS)方法，为众多领域非线性时间序列动力学系统重构的公认难点问题给出高精度数值逼近演化模型及仿真评估理论和方法。传统非均匀有理B样条(NURBS)虽然可以精美地重构系统时间序列的曲线造型，但却丝毫不能表达随时间变化的曲线中所蕴含的系统动力学性质。而课题目的就是，经一系列理论、方法、技术步骤对NURBS巧妙地、关键性引入决定其性质发生重大变化的元素──时间，通过反算节点矢量、应用deBoor-Cox公式计算时序B样条基函数，控制顶点，从而最终得到S-NURBS。S-NURBS既要精确瞄准时间序列外在的"形"，更重要的是能依据"时──形"变化来探究系统行为演变内在的"性"质。研究包括几何造型中引入表达系统演化意义的时间参数理论与方法、严格的时序-几何模型数学表达及算法设计、混沌时间序列S-NURBS仿真实验可信评估及模型优化等内容。

结论摘要：

目前，人们还无法直接获取自然界中许多复杂现象或动态复杂系统中蕴含的确定性规律，也还无法给出描述这些现象及系统的解析或微分方程，然而却可轻易地获得大量随时间变化的实测数据即时间序列。因此，从时间序列研究自然界中复杂现象及动态系统，对揭示系统中的内在规律特征具有实际可行性。如何高精度表示动态系统时间序列，尤其是非线性动态系统，构建其有效的数学模型一直以来都是难点问题。几何造型方法可高精度表示任意曲线轨迹，对非线性动态系统外在形状轨迹也可以高精度表达，那么对任意非线性动态系统时间序列都可以通过几何造型模型构建出轨迹形状方程，为建立统一动态模型奠定了坚实的基础。几何造型方法有一不足不能表达随时间变化的系统运动轨迹中的动态性质，关键原因在于几何诸多模型如NURBS 本身是静态的，不具有时间动态特性。提出一种时序几何原理及其相对应的动态模型（S-NURBS），高精度表达任一动态系统，精确重构系统动态性质特征。以几何方法描述时间序列外形，以时形变换研究动态系统内在演化性质，以时间参量的嵌入描述系统运动规律，通过动态模型重构非线性时间序列动态系统，得到一个严格统一的数学表达式。具体给出弦长时间法、直接时间法、二重时间法以及点差切矢法几种建模方法，分别适用于动态系统状态空间的解析性质研究和动态系统的微分性质研究。针对混沌系统李雅普诺夫指数，提出一种全新算法，验证S-NURBS理论。对Musa部分数据集分析，结果表明模型高精度地重构了Musa轨迹。对简单物理系统斜拋运动、二维非线性单摆、经典复杂混沌Lorenz等系统来验证，结果表明在实际系统可接受误差范围内，该理论正确性和有效性。表明用几何理论去研究物理问题是一种行之有效的方法。用S-NURBS来预测未来一段时间内系统行为，给出时间输入，模型输出对应时刻系统行为，时间序列恢复便可以实现。提出了结合窗口插补调整的S-NURBS时间序列缺失值插补方法和基于S-NURBS信号反馈混沌控制。对两组水文时间序列插补实验，结果表明S-NURBS插补的有效性；对Lorenz和Van der Pol系统进行S-NURBS信号反馈混沌控制仿真实验，证实该混沌控制方法不仅实现简单，且不需要系统精确数学模型，仅采样离散混沌时间序列设计出所需控制信号并适当调节反馈权重K即可。该方法为非线性动力系统的数学模型尚不清楚时，提供了一种有效控制手段。