中文摘要：

高维非线性动力系统周期解的研究与应用是非线性科学的重要分支，也是国际动力学领域的前沿问题和科研难题，对研究动力系统的分岔与混沌现象具有重要的理论意义和应用价值。本项目主要研究以下内容（1）从周期解理论及变刚度主动式电磁轴承等实际的机械模型出发，对这些模型的非线性动力学特性进行研究，并重点解决在这些研究中所需要的高维非线性动力系统规范形和周期解理论中的尚待解决的理论问题。（2）研究高维非线性动力系统周期解存在的判定方法及充分条件。（3）研究主动式电磁轴承等实际模型的复杂非线性振动问题，通过进一步研究系统的周期解存在的参数控制，了解主动式电磁轴系统等机械模型产生周期解的参数受控原理，对由于周期解的存在导致的系统的复杂振动现象给出理论分析。本课题将力争在周期解理论及应用领域做出一些有意义乃至突破性的创新工作。

结论摘要：

高维非线性系统周期解的研究与应用是非线性动力学与控制中最活跃的研究领域之一，对研究非线性动力系统的分岔与混沌现象具有重要的理论意义和应用价值。 (1) 基于高维非线性系统周期解理论，本项目综合考虑了高维可积与近可积Hamilton系统的周期解及其相图分布等关键科学问题，重点研究高维非线性动力系统周期解存在的充要条件、稳定性与普适的判定方法；并结合动力系统的分岔理论，进一步研究了受扰Hamilton系统在特殊参数条件下的局部与全局分岔集以及相图构型问题；Lyapunov量在微分系统的定性理论和分岔理论中占有重要地位，本项目研究了Lyapunov量复算法在一类4次与两类5次平面多项式复系统中的应用，分析了系统在原点产生极限环的个数等问题。 (2) 本项目基于Bogdanov-Takens最简规范形研究的成功经验，发展并完善由Baider, Sanders和KOW等提出规范形进一步简化理论，研究运用谱序列与Hilbert级数获得超规范形(最简规范形、惟一规范形)，通过首次引入分块矩阵新的表达形式，重点研究了一类具有对称性的一般形式的3维幂零向量场的最简规范形问题；运用新次数函数与多重李括号相结合等方法，研究了覆冰悬索与蜂窝夹层板等2自由度工程应用模型的超规范形问题。 (3) 本项目将高维非线性系统的周期解分岔理论应用于分析变刚度主动式电磁轴承、人工心脏泵耦合系统、托卡马克受控热核反应装置等实际机械模型的复杂非线性动力学特性；通过研究系统的分岔参数值、分岔方向值以及关于不同扰动参数的依赖关系，获得了在不同精确参数控制条件下原系统周期解的分岔集及其相图构型等问题；并基于该参数受控原理，对由于周期解与周期解分岔导致原系统存在的复杂振动等非线性动力学行为给出了理论分析及数值模拟。 本项目研究工作按照预定计划顺利完成，达到研究目标，取得了比较丰硕的成果。共完成及发表论文73篇，其中SCI、EI期刊25篇。 培养博士生导师1人，博士研究生3人，硕士研究生15人。 项目负责人李静2013年获北京市教学名师奖(省部级)。