中文摘要：

组合序列的实零点性和对数凸性研究是单峰型问题的重要组成部分，单峰型问题是组合数学中最原始最基本的问题之一，该问题的研究受到了MIT教授，美国国家科学院院士R.P. Stanley以及F. Brenti，P. Branden等组合学家的重视，有着重要的组合应用前景，是当前组合数学中的热点课题之一。目前，我们在这方面的研究已经取得了良好的进展，为进一步的研究奠定了可靠的基础。主要研究如何有效地运用零点相容性来讨论实零点性，并考虑多项式矩阵保持交替性或相容性的条件,借助多项式矩阵来研究实零点性是一种新的研究方式，可以方便且统一地证明某些多项式序列的实零点性；拟借助代数方法来较系统地研究对数凸性和q-对数凸性，并试图建立多项式序列具有q-对数凸性和实零点性之间的联系；拟借助代数方法和组合方法来研究系数高次时递归序列的正性问题。

结论摘要：

本项目旨在研究组合序列的实零点性和对数凸性，这两种性质是单峰型问题的重要组成部分，单峰型问题是组合数学中最原始最基本的问题之一，该问题的研究受到了MIT教授，美国国家科学院院士R.P. Stanley以及F. Brenti，P. Branden等组合学家的重视，有着重要的组合应用前景，是当前组合数学中的热点课题之一。 我们的研究进展主要有两方面。其一是研究了证明多项式只具有实零点的一种方法---零点相容性的方法，得到了首项系数符号相反的两个多项式具有零点相容性的充要条件，作为应用部分地解决了由M. Chudnovsky和P. Seymour提出的一个问题。同时我们建立了两个多项式零点的相容性和交替性之间的联系，并给出了一些已知结论的简单证明。其二是研究满足递归关系式系数非线性的组合序列具有q-对数凸性的充分条件，由此能得到Jacobi Stirling数的q-对数凸性。 利用零点相容性来研究多项式的实零点性是一种较新的研究方式，可以统一地得到一些多项式的实零点性，为相关方向的研究带来新的视角。