中文摘要：

本项目主要研究n+1维空间形式中的极小超曲面和具有常平均曲率超曲面。关于欧氏空间，我们主要研究欧氏空间中的稳定极小超曲面在满足什么曲率条件下是仿射超平面,其主要目的是想解决广义的Bernstein问题；关于双曲空间，我们主要研究具有有限指数的常平均曲率超曲面的几何性质和曲率性质；关于球面空间，我们主要研究单位球面中的定向紧致极小超曲面及具有常平均曲率的定向紧致超曲面. 它们分别对应于不同的变分问题，我们将通过研究该变分问题对应的Jacobi算子（也称为稳定算子）的指数对极小超曲面及常平均曲率超曲面进行分类. 这是子流形几何领域非常重要而有意义的课题.

结论摘要：

在该项目中，项目组成员基本围绕项目申请书的主要内容，并按照项目申请书中的工作计划有效地开展了研究工作，对项目申请书中提出的问题开展了有效的系统的研究。根据国际上的最新进展，我们还组织讨论班系统学习了子流形理论和最优传输理论，充分研究了空间形式中的子流形，并且已经取得了一定的成果。具体如下（1）双曲空间中的子流形我们研究了双曲空间中具有具有有限指数的常平均曲面超曲面，引进了k-weighted bi-Ricci曲率的概念，并利用共性变换建立了关于一个新的几何不等式，证明了4维和5维双曲空间中具有有限指数的常平均曲率超曲面的一个紧致性定理，改进了Cheng X.的结果，到目前为止是最好的。该结果发表在Acta.Math.Sci,2011. 31（B）（2）单位球面中的子流形我们研究了单位球面中具有常平均曲率的闭超曲面，计算得到了第二基本形式的一个新的等式， 并且利用该等式去得到了一个关于该曲面的新的gap定理。这个结果推广了Cheng Q.M他们的结果，发表在Glasgow Math. J. 2012.1。在这方面，我们还给出了S^5(1)中的具有常数量曲率的Willmore极小超曲面的完整分类, 更好的支持了陈省身猜想。这个结果体现在我们的文章 Closed Willmore minimal hypersurfaces with constant scalar curvature in S^5(1) are isoparametric (submitted)中。（3）广义Ricci曲率方面我们证明了Lott-Sturm-Villani定义的度量测度空间中的广义Ricci曲率下界具有Tensorization性质，并且给出了C.Villani关于局部到整体性质的一个反例。该结果发表在J. Funct. Anal. 2011. Vol. 260.